Dichtefunktion: Bedingungen, Flächen und Beispiele

Bei einer stetigen Zufallsgröße X fragst du nicht „Wie wahrscheinlich ist genau 12,4 Sekunden?“, sondern „Wie wahrscheinlich liegt die Zeit zwischen 12 und 13 Sekunden?“. Die Antwort ist eine Fläche unter dem Graphen der Dichte. Ein großer Wert von f(x) bedeutet: In der Umgebung von x liegt vergleichsweise viel Wahrscheinlichkeit. Die Höhe f(x) selbst ist aber keine Wahrscheinlichkeit. Sie darf sogar größer als 1 sein, solange die Gesamtfläche 1 bleibt.

Bei einer vorgegebenen Funktion brauchst du immer beide Prüfungen. Eine nichtnegative Funktion kann die falsche Gesamtfläche haben. Eine Funktion mit Integral 1 kann stellenweise negativ sein. Als Beispiel dient f(x)=-\frac{2}{9}x^2+\frac{2}{3}x für 0\le x\le3, außerhalb von [0;3] sei f(x)=0. Für die Nichtnegativität faktorisierst du den Term. Für die Gesamtfläche brauchst du eine Stammfunktion F und integrierst über [0;3], denn außerhalb liegt keine Fläche.

Verwende dieselbe Dichte. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens 2 beträgt. Da außerhalb von [0;3] keine Dichte liegt, integrierst du von 2 bis 3: P(X\ge2)=\int_2^3\left(-\frac{2}{9}x^2+\frac{2}{3}x\right)dx. Schneller geht es mit der Verteilungsfunktion F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt. Sie sammelt die gesamte Wahrscheinlichkeit links von x. Die Integrationsvariable heißt hier t, damit sie nicht mit der oberen Grenze x verwechselt wird. Für ein Intervall ziehst du zwei gesammelte Flächen voneinander ab: P(a\le X\le b)=F(b)-F(a). Bei unserer Dichte ist die Stammfunktion F von oben zugleich die Verteilungsfunktion auf [0;3], denn F(0)=0 und links von 0 liegt keine Fläche. Prüfe am Ende: Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1. Ein negatives Ergebnis oder eines über 1 zeigt sicher einen Rechen- oder Modellfehler.

Für eine stetige Zufallsgröße gilt an jedem einzelnen Punkt P(X=x)=0. Ein Punkt hat keine Breite und damit keine Fläche unter dem Dichtegraphen. Das heißt nicht, dass der Wert unmöglich ist. Eine Messung kann durchaus genau 2 anzeigen. Im idealisierten stetigen Modell hat das Ereignis „exakt 2 und sonst nichts“ trotzdem die Wahrscheinlichkeit 0. Weil einzelne Randpunkte nichts beitragen, ist es bei stetigen Zufallsgrößen egal, ob die Intervallgrenzen dazugehören: P(2<X<3)=P(2\le X\le3).