Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Spurpunkte einer Geraden berechnen – einfach erklärt
Spurpunkte zeigen, wo eine Gerade die Koordinatenebenen durchstößt. Du lernst, sie zu berechnen, Sonderfälle zu erkennen und die Gerade damit zu skizzieren.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Du setzt die Koordinate null, die im Namen der Ebene fehlt, zum Beispiel x_3=0 für die x_1x_2-Ebene. Dann löst du nach dem Parameter t und setzt ihn in die ganze Geradengleichung ein.
Ein Spurpunkt ist ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Du findest ihn, indem du die Koordinate, die in dieser Ebene immer null ist, gleich null setzt, den Geradenparameter berechnest und ihn in die gesamte Geradengleichung einsetzt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Im Raum hat ein Punkt drei Koordinaten: P(x_1|x_2|x_3). Eine Koordinatenebene wird von zwei Achsen aufgespannt. Die dritte Koordinate ist dort immer null.
Definition
Spurpunkt
Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Hier bezeichnet der Index die Ebene: S_{12} liegt in der x_1x_2-Ebene, also gilt x_3=0. S_{13} liegt in der x_1x_3-Ebene, also gilt x_2=0. S_{23} liegt in der x_2x_3-Ebene, also gilt x_1=0. Manche Darstellungen nennen S_{23} auch S_1, weil dort x_1=0 gilt. Prüfe deshalb immer, welches Bezeichnungssystem verwendet wird.
Merke: Die Koordinate, deren Nummer im Ebenennamen fehlt, wird null.
Teste dich
Eine Gerade in Parameterform hat die Gestalt \vec x=\vec a+t\vec v. Dabei ist \vec a der Stützvektor, \vec v der Richtungsvektor und t der Parameter. Gehe für jede gewünschte Koordinatenebene in vier Schritten vor: Bestimme die Nullkoordinate der Ebene. Setze die passende Koordinatengleichung a_i+t\,v_i=0. Löse diese Gleichung nach t. Setze den gefundenen Wert in alle drei Koordinatengleichungen ein und notiere den Punkt.
Beispiel: Alle Spurpunkte von g:\vec x=\begin{pmatrix}-2\\-4\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}
- 1S_{12}: x_3=0, also 4-t=0 und t=4
- 2t=4 einsetzen: \vec x=\begin{pmatrix}-2+4\cdot2\\-4+4\cdot2\\4+4\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}, also S_{12}=(6|4|0)
- 3S_{23}: x_1=0, also -2+2t=0, t=1 und S_{23}=(0|-2|3)
- 4S_{13}: x_2=0, also -4+2t=0, t=2 und S_{13}=(2|0|2)
- 5Probe: Jeder Punkt hat die zu seiner Ebene passende Nullkoordinate.
Teste dich
Entscheidend ist die Gleichung der Nullkoordinate: a_i+t\,v_i=0. Daraus entstehen genau drei Fälle. Genau ein Spurpunkt: Ist v_i\neq0, lässt sich genau ein Wert für t bestimmen. Kein Spurpunkt: Ist v_i=0 und a_i\neq0, bleibt die Koordinate immer ungleich null. Die Gerade ist zur Ebene parallel und liegt nicht in ihr. Unendlich viele gemeinsame Punkte: Sind v_i=0 und a_i=0, ist die Koordinate für jedes t null. Die ganze Gerade liegt in der Ebene. Schneidet die Gerade eine Koordinatenachse, können zwei Spurpunkte derselbe geometrische Punkt sein. Verläuft sie durch den Ursprung, können alle drei Spurpunkte im Ursprung zusammenfallen. Unterscheide deshalb Ebenenschnitte von der Anzahl verschiedener Punkte.
Merke: Teile nie ungeprüft durch die betreffende Komponente des Richtungsvektors. Ist sie null, musst du zwischen „kein Schnitt“ und „Gerade liegt in der Ebene“ unterscheiden.
Teste dich
Zum Skizzieren trägst du zwei Spurpunkte in ein räumliches Koordinatensystem ein und zeichnest die Gerade durch beide Punkte. Der dritte Spurpunkt dient als Kontrolle: Er muss auf derselben Geraden liegen. Im Beispiel hat die Gerade g:\vec x=\begin{pmatrix}-4\\3\\-3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix} drei Spurpunkte.
Beispiel: Spurpunkte zum Skizzieren
- 1S_{12}: -3-2t=0, also t=-\frac{3}{2} und S_{12}=\left(-1\middle|\frac{3}{2}\middle|0\right)
- 2S_{23}: -4-2t=0, also t=-2 und S_{23}=(0|1|1)
- 3S_{13}: 3+t=0, also t=-3 und S_{13}=(2|0|3)
- 4Skizze: S_{23} und S_{13} eintragen und verbinden, S_{12} zur Kontrolle
Teste dich
Alles auf einen Blick
Spurpunkte
Koordinatenebenen
in der x_1x_2-Ebene ist x_3=0, in der x_1x_3-Ebene x_2=0, in der x_2x_3-Ebene x_1=0
Berechnung
Nullkoordinate setzen, Parameter bestimmen, vollständig einsetzen und prüfen
Sonderfälle
genau ein Schnittpunkt, kein Schnittpunkt oder Gerade liegt in der Ebene
Anwendung
zwei Spurpunkte zum Skizzieren, der dritte zur Kontrolle
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Spurpunkte einer Geraden berechnen
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}
- 2S_{12}: 3-3t=0, also t=1 und S_{12}=(2|1|0)
- 3S_{23}: 1+t=0, also t=-1 und S_{23}=(0|3|6)
- 4S_{13}: 2-t=0, also t=2 und S_{13}=(3|0|-3)
- 5Probe: Die Nullkoordinaten passen zu den Ebenen.
Fehler finden
S_{12} einer Geraden berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2In der x_1x_2-Ebene ist x_3=0, nicht x_1. Richtig: 4-2t=0, also t=2 und S_{12}=(4|3|0).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
In der x_1x_2-Ebene gilt . In der x_1x_3-Ebene gilt . In der x_2x_3-Ebene gilt .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback