Mathematik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Exponentielles Wachstum: Faktor, Formel und Zeit
Beim exponentiellen Wachstum wird ein Bestand immer mit demselben Faktor multipliziert. Du lernst Formel, Wachstumsfaktor und Verdopplungszeit.
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Kurz gesagt
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn ein Bestand in gleich langen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor q>1 multipliziert wird. Die Formel lautet B_n=B_0\cdot q^n mit q=1+\frac{p}{100}. Beispiel: 800 € wachsen mit 3 % pro Jahr in fünf Jahren auf 800\cdot1{,}03^5\approx927{,}42 €.
Ein Video wird geteilt, jeder, der es sieht, teilt es weiter, und plötzlich kennt es die ganze Schule. So fühlt sich exponentielles Wachstum an. Es liegt vor, wenn ein Bestand in gleich langen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor größer wird. Deshalb bleibt nicht der Zuwachs, sondern der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Vergleiche zwei Sparpläne. Beide beginnen mit 100 €. Plan L erhält jedes Jahr 20 € dazu. Plan E wächst jedes Jahr um 20 %. Bei Plan L ist die Differenz stets 20 €. Das ist lineares Wachstum. Bei Plan E ist der Quotient stets 1,2. Das ist exponentielles Wachstum.
| Schritt n | Plan L in € | Differenz | Plan E in € | Quotient |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 100 | – | 100 | – |
| 1 | 120 | 20 | 120 | 1,2 |
| 2 | 140 | 20 | 144 | 1,2 |
| 3 | 160 | 20 | 172,80 | 1,2 |
Definition
Wachstumsfaktor
Der Wachstumsfaktor q gibt an, mit welcher Zahl der Bestand pro gleich langem Zeitabschnitt multipliziert wird. Bei exponentiellem Wachstum gilt q>1.
Merke: Gleiche Differenz bedeutet linear. Gleicher Quotient bedeutet exponentiell. Prüfe Quotienten nur, wenn die verglichenen Ausgangswerte nicht null sind.
Teste dich
Sei B_0 der Anfangsbestand und q der Faktor pro Zeitabschnitt. Nach einem Schritt gilt B_1=B_0\cdot q, nach zwei Schritten B_2=B_0\cdot q^2. Nach n Schritten lautet das Modell B_n=B_0\cdot q^n Dabei ist n=0,1,2,\ldots die Anzahl der vollständig vergangenen Zeitabschnitte: Der Exponent zählt die Multiplikationen. Es gilt B_0>0 und für Wachstum q>1. Eine Zunahme um p % bedeutet: Zum ganzen Bestand kommt der Anteil \frac{p}{100} hinzu. Daher gilt q=1+\frac{p}{100}, und umgekehrt p=(q-1)\cdot100 %. Fehlt eine andere Größe, stellst du die Formel um: B_0=\frac{B_n}{q^n} oder q=\sqrt[n]{\frac{B_n}{B_0}} für n>0.
Beispiel: 800 € mit 3 % Zinsen pro Jahr
- 1Anfangswert: B_0=800 €
- 2Jahresfaktor: q=1+\frac{3}{100}=1{,}03
- 3Modell: B_n=800\cdot1{,}03^n in Euro
- 4Nach 5 Jahren: B_5=800\cdot1{,}03^5\approx927{,}42 €
- 5Der Exponent 5 zählt fünf Jahre, weil der Faktor für ein Jahr gilt.
Beispiel: Faktor aus zwei Beständen: 850 Tiere werden in 5 Jahren zu 1000
- 11000=850\cdot q^5
- 2q=\sqrt[5]{\frac{1000}{850}}\approx1{,}033
- 3Rate: p\approx(1{,}033-1)\cdot100\,\%=3{,}3\,\%
- 4Das ist ein Modell: Die Population muss nicht in jedem Jahr genau um 3,3 % gewachsen sein.
Teste dich
Die Verdopplungszeit T_2 ist die Zeit, nach der der Anfangsbestand doppelt so groß ist. Bei einem Faktor q pro Zeiteinheit setzt du B_0\cdot q^{T_2}=2B_0. Für B_0>0 kürzt sich der Anfangsbestand heraus, und mit Logarithmen folgt T_2=\frac{\ln 2}{\ln q} Die Verdopplungszeit hängt also nur vom Faktor ab, nicht vom Startwert. Die Überschlagsregel T_2\approx\frac{70}{p} liefert bei kleinen jährlichen Raten eine grobe Zahl von Jahren, wenn du p als Prozentzahl einsetzt. Die Logarithmusformel ist genauer und zeigt die Zeiteinheit eindeutig.
Beispiel: Bakterien wachsen stündlich um 12 %
- 1q=1{,}12 pro Stunde
- 2T_2=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}12}\approx6{,}12 Stunden
- 3Kontrolle nach 6 Stunden: 1{,}12^6\approx1{,}974, also knapp unter dem Doppelten
- 4Nach 7 vollen Stunden: 1{,}12^7\approx2{,}211, erstmals mehr als das Doppelte
Teste dich
Ein exponentielles Modell setzt voraus, dass der Faktor in gleich langen Zeitabschnitten konstant bleibt. Das beschreibt Zinseszins oder eine frühe Wachstumsphase oft gut. Reale Bestände wachsen jedoch meist nicht unbegrenzt: Nahrung, Raum oder Nachfrage können den Faktor verändern. Prüfe bei jeder Modellierung die Bezugszeit (gilt der Faktor pro Stunde, Monat oder Jahr?), den Definitionsbereich (nur ganze Schritte n=0,1,2,\ldots oder stetige Zeit t\ge0?), die Einheit (der Bestand hat eine, der Exponent nicht), die Annahme eines konstanten Faktors und das Ergebnis (sind Rundung und Bedeutung sinnvoll, etwa bei Tieren?). Für stetige Zeit schreibt man dasselbe Wachstum auch als B(t)=B_0e^{kt}. Gilt q für eine Zeiteinheit, ist k=\ln q pro Zeiteinheit.
Beispiel: Dasselbe Wachstum mit e schreiben
- 1q=1{,}03 pro Jahr
- 2k=\ln(1{,}03)\approx0{,}0296 pro Jahr
- 3800\cdot1{,}03^t und 800\cdot e^{0{,}0296t} beschreiben bis auf Rundung dasselbe Wachstum
Merke: Ein Modell gilt nur so weit, wie seine Annahmen zum Sachzusammenhang passen. Eine gute Anpassung über kurze Zeit ist keine Garantie für eine langfristige Prognose.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Exponentielles Wachstum
Erkennen
konstanter Quotient statt konstanter Differenz
Modellieren
B_n=B_0\cdot q^n mit q>1
Rate umrechnen
q=1+\frac{p}{100}
Verdopplungszeit
T_2=\frac{\ln 2}{\ln q}
Prüfen
Zeiteinheit, Definitionsbereich und Sachkontext
Grenzen
ein konstanter Faktor gilt nicht automatisch dauerhaft
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
2.000 € Sparguthaben mit 2,5 % Zinsen pro Jahr
- 1Faktor: q=1+\frac{2{,}5}{100}=1{,}025
- 2Modell: B_n=2000\cdot1{,}025^n in Euro
- 3Nach 10 Jahren: B_{10}=2000\cdot1{,}025^{10}\approx2560{,}17 €
- 4Verdopplungszeit: T_2=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}025}\approx28{,}07 Jahre
- 5Überschlag: 70 : 2,5 = 28 Jahre passt gut.
Fehler finden
Ein Kanal hat 1500 Follower, die Zahl wächst monatlich um 10 %. Wie viele sind es nach 4 Monaten? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Potenz wurde als Produkt gerechnet. 1{,}1^4 heißt viermal mit 1,1 multiplizieren: 1{,}1^4=1{,}4641. Richtig ist B_4=1500\cdot1{,}4641=2196{,}15, also etwa 2196 Follower.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei 12 % Wachstum lautet der Faktor . Im Modell B_n=500\cdot1{,}12^n ist 500 der . Der Exponent n zählt die .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback