Terme verstehen, berechnen und vereinfachen

Beispiele für Terme sind 7, x, 3+x und 25-(x+7). Dagegen ist 5+x=12 eine Gleichung: Links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen jeweils Terme, dazwischen wird ihre Gleichheit behauptet. 4+ ist kein Term, weil der Rechenausdruck unvollständig ist. Auch zwei Rechenzeichen direkt hintereinander oder eine schließende Klammer ohne passende öffnende Klammer ergeben keinen sinnvoll gebildeten Term. Eine Division durch 0 ist nicht definiert. Deshalb ist ein Ausdruck mit 0 als Divisor nicht zulässig. Der Term 0:15 ist dagegen erlaubt und hat den Wert 0.

Ein Term ohne Variable hat einen festen Zahlenwert. In einem Term mit Variable setzt du zuerst einen vorgegebenen Wert für die Variable ein. Der dadurch entstehende Zahlenwert heißt Termwert. Rechne in dieser Reihenfolge: Klammern, Potenzen, Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion.

In 4x heißt 4 Koeffizient. Das ist die Zahl vor dem Variablenteil. Gleichartige Terme besitzen denselben Variablenteil einschließlich aller Exponenten. Deshalb sind 4x und 2x gleichartig, aber x und x^2 nicht. Beim Addieren oder Subtrahieren gleichartiger Terme rechnest du nur mit den Koeffizienten. Der gemeinsame Variablenteil bleibt erhalten. Bei einer Multiplikation rechnest du Zahlenfaktoren miteinander und Variablenfaktoren miteinander: 4\cdot3\cdot x\cdot y=12xy 4\cdot3\cdot x\cdot x=12x^2 Für Potenzen derselben Basis gilt beim Multiplizieren: Die Exponenten werden addiert, zum Beispiel x^2\cdot x^3=x^5. Eine Plusklammer kannst du ohne Änderung weglassen: 25+(x+7)=25+x+7=32+x Bei einer Minusklammer wechseln alle Vorzeichen in der Klammer. Das Minus wirkt wie der Faktor -1: 25-(x+7)=25-x-7=18-x Steht ein anderer Faktor vor der Klammer, nutzt du das Distributivgesetz: Multipliziere jedes Klammerglied mit dem äußeren Faktor.

Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie für jeden zulässigen Variablenwert denselben Wert besitzen. So sind 3+x und x+3 gleichwertig, weil die Reihenfolge bei einer Addition vertauscht werden darf. Einsetzen eignet sich als Kontrolle: Unterschiedliche Ergebnisse für nur einen Wert beweisen, dass zwei Terme nicht gleichwertig sind. Gleiche Ergebnisse für einige ausgewählte Werte sind dagegen noch kein allgemeiner Beweis. Eine regelgerechte Umformung, etwa mit dem Distributivgesetz, zeigt die Gleichwertigkeit für alle zulässigen Werte.