Quadrat: Eigenschaften, Formeln und Berechnungen

Stell dir eine Bodenfliese vor. Gleich lange Seiten allein machen sie noch nicht zu einem Quadrat, vier rechte Winkel allein auch nicht. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein. Die vier Winkel ergeben zusammen 4\cdot 90^\circ=360^\circ. Gegenüberliegende Seiten sind parallel, benachbarte Seiten treffen sich im rechten Winkel. Ein Quadrat ist ein Viereck, weil es vier Seiten und vier Ecken hat. Es ist auch ein Rechteck, weil es vier rechte Winkel hat, und zwar ein besonderes, weil zusätzlich alle Seiten gleich lang sind. Ein Rechteck mit 6\,\text{cm} und 3\,\text{cm} Seitenlänge ist dagegen kein Quadrat.

Die Seitenlänge eines Quadrats wird meist mit a bezeichnet. Der Umfang U ist die Länge des gesamten Randes. Weil alle vier Seiten gleich lang sind, gilt: U=4a Der Flächeninhalt A beschreibt die Größe der bedeckten Fläche. Du multiplizierst Länge und Breite. Beim Quadrat sind beide gleich a: A=a\cdot a=a^2 Verwechsle die Einheiten nicht: Ein Umfang wird beispielsweise in Zentimetern oder Metern angegeben, eine Fläche in Quadratzentimetern oder Quadratmetern. Ist der Flächeninhalt gegeben, erhältst du die Seitenlänge durch die Quadratwurzel. Bei A=81\,\text{cm}^2 gilt im Sachzusammenhang: a=\sqrt{81\,\text{cm}^2}=9\,\text{cm} Eine Seitenlänge ist nicht negativ. Deshalb passt hier nur der positive Wert.

Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken. Ein Quadrat hat zwei Diagonalen. Sie sind gleich lang, halbieren einander, schneiden sich rechtwinklig im Mittelpunkt und halbieren die Innenwinkel. Eine Diagonale teilt das Quadrat in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke, deren Katheten die Länge a haben. Mit dem Satz des Pythagoras folgt: d^2=a^2+a^2=2a^2 Da eine Länge positiv ist, ergibt sich d=a\sqrt{2}. Ein Quadrat hat außerdem vier Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen und die beiden Geraden durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Es ist auch punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.

Die Flächenformel erklärt den sprachlichen Zusammenhang. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 besteht aus 5\cdot5=25 gleich großen Einheitsquadraten. Deshalb gilt: 5^2=5\cdot5=25 Die Rechnung heißt Quadrieren. Die hochgestellte 2 ist der Exponent und bedeutet hier: Multipliziere die Zahl mit sich selbst. Quadrate natürlicher Zahlen heißen Quadratzahlen. Beispiele sind 1, 4, 9, 16 und 25. Auch negative Zahlen lassen sich quadrieren: (-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25 Die Klammern sind entscheidend: Sie zeigen, dass die negative Zahl als Ganzes mit sich selbst multipliziert wird.