Variable in Mathematik: Bedeutung und Rechnen

Stell dir die Gleichung x+2=5 vor. Hier steht x für eine unbekannte, aber feste Zahl. Nur x=3 macht die Gleichung wahr. Eine Variable muss also nicht immer „veränderlich“ sein: In 3x=12 ist x unbekannt, aber innerhalb dieser Gleichung fest. In der Rechteckformel U=2a+2b können a und b verschiedene Seitenlängen annehmen. In y=2+x hängt der Wert von y davon ab, welchen Wert du für x einsetzt. Wenn dieselbe Variable mehrmals vorkommt, setzt du an jeder Stelle denselben Wert ein. Für x=4 wird aus x+x daher 4+4 und nicht etwa 4+5.

Ein Term ist ein Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, zum Beispiel 2x+4. Ein Term hat keinen Wahrheitswert wie eine Gleichung. Du kannst ihn vereinfachen oder durch Einsetzen auswerten. Steht eine Zahl direkt vor einer Variablen, ist Multiplikation gemeint: 2x=2\cdot x Beim Einsetzen setzt du einen negativen Wert am besten in Klammern. Für x=-2 wird aus x^2 der Ausdruck (-2)^2=4. So bleibt sichtbar, dass der ganze Wert quadriert wird. Einsetzen dient auch als Probe. Bei 3x+2x=5x kannst du zum Beispiel x=3 wählen: 3\cdot3+2\cdot3=9+6=15 und 5\cdot3=15. Beide Seiten liefern denselben Wert. Eine einzelne Probe kann einen Fehler entdecken. Sie beweist aber nicht für alle möglichen Werte, dass zwei Terme immer gleich sind.

In 3x heißt die Zahl 3 Koeffizient. Sie gibt an, wie oft x addiert wird. Gleichartige Glieder haben denselben Variablenteil: Variable und Exponent stimmen überein. Dagegen sind x und x^2 nicht gleichartig. Es gilt x^2=x\cdot x; das ist nicht dasselbe wie x. Deshalb lässt sich 4x+2x^2 nicht weiter zusammenfassen. Auch 3x+5y bleibt stehen, weil x und y verschiedene Variablen sind. Bei einer Multiplikation gilt eine andere Regel. Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem du die Exponenten addierst: x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5. Der Grund wird sichtbar, wenn du die Faktoren ausschreibst: Zwei Faktoren x und drei weitere Faktoren x ergeben zusammen fünf Faktoren x.

Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Sie kann nach einem unbekannten Wert fragen, etwa x+2=5. Sie kann aber auch einen allgemeinen Zusammenhang beschreiben. In y=2+x kannst du x wählen und daraus y berechnen. Für x=4 gilt y=2+4=6. In dieser Betrachtung ist x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable. Eine besondere Rolle spielt ein Parameter: ein Wert, der in einer allgemeinen Form vorkommt, aber für eine bestimmte Betrachtung festgehalten wird. In y=mx+b kann sich x verändern, während m und b für eine ausgewählte Gerade fest sind. Andere Werte für m oder b beschreiben eine andere Gerade. Die Rolle eines Buchstabens ist deshalb nicht für immer festgelegt. Sie ergibt sich aus der Frage, die du gerade untersuchst.