Mathematik · Klasse 7 · aktualisiert
Sechseck: Eigenschaften, Formeln und Konstruktion
Ein Sechseck hat sechs Ecken und sechs Seiten. Du lernst, regelmäßige Sechsecke zu erkennen, Winkel, Umfang und Fläche zu berechnen und sie zu konstruieren.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Sechseck ist ein Vieleck mit sechs Ecken und sechs Seiten. Im regelmäßigen Sechseck sind alle Seiten gleich lang und jeder Innenwinkel ist 120° groß. Es gilt U = 6a und A = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2, der Umkreisradius ist so lang wie eine Seite.
Ein Sechseck ist ein Vieleck mit sechs Ecken und sechs Seiten. Bei einem regelmäßigen Sechseck sind außerdem alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Seine besondere Zerlegung in sechs gleichseitige Dreiecke macht Berechnungen und Konstruktionen einfach.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Sechseck muss nur sechs Ecken und sechs Seiten haben. Die Begriffe unterscheiden sich so: Ein allgemeines Sechseck hat sechs Ecken und sechs Seiten. Ein gleichseitiges Sechseck hat zusätzlich sechs gleich lange Seiten. Ein regelmäßiges Sechseck hat sechs gleich lange Seiten und sechs gleich große Innenwinkel. Bienenwaben und viele Schraubenmuttern haben die Form eines regelmäßigen Sechsecks.
Definition
Sechseck
Ein Sechseck, auch Hexagon genannt, ist ein Vieleck mit genau sechs Ecken und sechs Seiten. Seine Seiten und Winkel müssen nicht gleich groß sein.
Beispiel: Sechseck, aber nicht regelmäßig
- 1Eine Figur hat sechs Ecken und sechs Seiten.
- 2Eine Seite ist länger als die anderen.
- 3Sie ist ein Sechseck, aber kein regelmäßiges.
Teste dich
Die Summe der sechs Innenwinkel eines Sechsecks beträgt 720^\circ. Beim regelmäßigen Sechseck sind alle sechs Innenwinkel gleich groß. Deshalb teilst du die Winkelsumme durch sechs: \frac{720^\circ}{6}=120^\circ.
Merke: Die Winkelsumme beträgt 720^\circ. Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks beträgt 120^\circ.
Teste dich
Verbinde beim regelmäßigen Sechseck den Mittelpunkt mit allen sechs Ecken. So entstehen sechs deckungsgleiche, gleichseitige Dreiecke mit je drei 60°-Winkeln. Verwechsle diese 60° nicht mit dem Innenwinkel des Sechsecks: An jeder Ecke stoßen zwei Dreieckswinkel zusammen, 2 · 60° = 120°. Weil die Dreiecke gleichseitig sind, ist der Umkreisradius R, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke, genauso lang wie die Seite: R = a. Die Höhe eines Teildreiecks ist der Inkreisradius r, der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zu einer Seite. Mit dem Satz des Pythagoras gilt a^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2, also r = \frac{\sqrt{3}}{2}a. Die Beziehung R = a macht auch die Konstruktion einfach.
Merke: Beim regelmäßigen Sechseck gilt: Seitenlänge und Umkreisradius sind gleich groß.
Beispiel: Regelmäßiges Sechseck mit Zirkel und Lineal
- 1Einen Kreis mit Mittelpunkt M zeichnen
- 2Einen Punkt auf dem Kreis als erste Ecke wählen
- 3Die Zirkelöffnung auf dem Kreisradius lassen
- 4Diese Länge sechsmal nacheinander auf dem Kreisrand abtragen
- 5Benachbarte Punkte mit dem Lineal verbinden
Teste dich
Für alle Formeln muss das Sechseck regelmäßig sein. Die Flächenformel folgt aus den sechs gleichseitigen Dreiecken: Jedes hat die Grundseite a und die Höhe r. A = 6 \cdot \frac{a \cdot r}{2} = 6 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 Achte auf die Einheiten: Umfang, Radien und Abstände sind Längen, zum Beispiel in cm. Die Fläche hat eine Quadrateinheit wie cm². Verwechsle außerdem nicht den Abstand D_e = 2a von Ecke zu Ecke mit dem Abstand D_f = \sqrt{3}a von Seite zu Seite.
| Größe | Bedeutung | Formel |
|---|---|---|
| Umfang U | Länge aller sechs Seiten | U=6a |
| Fläche A | Fläche der sechs Teildreiecke | A=\frac{3\sqrt3}{2}a^2 |
| Umkreisradius R | Mittelpunkt bis Ecke | R=a |
| Inkreisradius r | Mittelpunkt bis Seite | r=\frac{\sqrt3}{2}a |
| Abstand D_e | zwischen gegenüberliegenden Ecken | D_e=2a |
| Abstand D_f | zwischen gegenüberliegenden Seiten | D_f=\sqrt3a |
Beispiel: Regelmäßiges Sechseck mit a = 4 cm
- 1Umfang: U = 6 \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}
- 2Fläche: A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (4\,\text{cm})^2 = 24\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 41{,}57\,\text{cm}^2
- 3Radien: R = 4\,\text{cm} und r = 2\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 3{,}46\,\text{cm}
- 4Abstände: D_e = 8\,\text{cm} und D_f = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Sechseck
Erkennen
sechs Ecken und sechs Seiten
Regelmäßig
gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel
Winkel
Summe 720^\circ, einzeln 120^\circ
Zerlegung
sechs gleichseitige Dreiecke
Berechnen
Umfang, Fläche, Radien und Abstände
Konstruieren
Kreisradius sechsmal abtragen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Regelmäßiges Sechseck mit a = 6 cm
- 1Umfang: U = 6 \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}
- 2Fläche: A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (6\,\text{cm})^2 = 54\sqrt{3}\,\text{cm}^2
- 3Gerundet: A \approx 93{,}53\,\text{cm}^2
- 4Umkreisradius: R = a = 6\,\text{cm}
- 5Inkreisradius: r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\,\text{cm} = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 5{,}20\,\text{cm}
Fehler finden
Fläche eines regelmäßigen Sechsecks mit a = 2 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Höhe eines Teildreiecks ist nicht die Seite, sondern der Inkreisradius r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\,\text{cm} = \sqrt{3}\,\text{cm}. Damit ist A = 6 \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2 = 6\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 10{,}39\,\text{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks beträgt . Sein Umkreisradius ist . Für den Umfang gilt .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback