Mathematik · Klasse 7 · aktualisiert
Trapez: Eigenschaften, Fläche und Umfang
Ein Trapez hat zwei parallele Seiten. Du lernst seine Teile und Sonderformen kennen und berechnest Mittellinie, Fläche und Umfang.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten, den Grundseiten a und c. Die beiden anderen Seiten heißen Schenkel. Den Flächeninhalt berechnest du mit A=\frac{a+c}{2} \cdot h, den Umfang mit U=a+b+c+d.
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar gegenüberliegender paralleler Seiten. Du kannst es an diesen Grundseiten erkennen und mit Höhe, Mittellinie und Seitenlängen berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die beiden parallelen Seiten heißen Grundseiten. Meist werden sie mit a und c bezeichnet. Die beiden übrigen Seiten b und d heißen Schenkel. Die vier Eckpunkte werden der Reihe nach mit A, B, C und D beschriftet. Verbindungen zwischen gegenüberliegenden Ecken heißen Diagonalen. Deshalb zählen auch Parallelogramme, Rechtecke und Quadrate als besondere Trapeze: Sie besitzen sogar zwei Paare paralleler Seiten.
Definition
Höhe
Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundseiten. Sie steht im rechten Winkel auf ihnen. Eine schräge Seite ist daher nicht automatisch die Höhe.
Merke: Prüfe zuerst die Parallelität: Ein Viereck ist nach der hier verwendeten Definition ein Trapez, wenn mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist.
Teste dich
Wie jedes Viereck hat ein Trapez vier Innenwinkel. Ihre Summe beträgt 360°. Die beiden Innenwinkel, die an demselben Schenkel liegen, ergeben zusammen 180°. Ein allgemeines Trapez muss weder gleich lange Schenkel noch rechte Winkel besitzen. Auch seine Diagonalen müssen nicht gleich lang sein.
Definition
Gleichschenkliges Trapez
Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die beiden Schenkel gleich lang: b=d. Die Figur ist achsensymmetrisch.
Definition
Rechtwinkliges Trapez
Ein rechtwinkliges Trapez besitzt zwei rechte Winkel. Der Schenkel zwischen diesen Winkeln steht senkrecht auf den Grundseiten und ist damit zugleich eine Höhe.
Teste dich
Für den Flächeninhalt brauchst du die beiden Grundseiten a und c sowie die senkrechte Höhe h: A=\frac{a+c}{2} \cdot h Du addierst zuerst die Grundseiten, halbierst ihre Summe und multiplizierst anschließend mit der Höhe. Die Mittellinie verbindet die Mittelpunkte der beiden Schenkel. Sie ist parallel zu den Grundseiten und hat die Länge m=\frac{a+c}{2} Damit lässt sich die Flächenformel auch so schreiben: A=m \cdot h Die Flächenformel lässt sich durch Verdoppeln erklären: Lege eine gedrehte Kopie des Trapezes an das Original. Es entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite a+c und der Höhe h. Es entspricht zwei Trapezen, deshalb wird sein Flächeninhalt durch 2 geteilt. Soll statt der Fläche die Höhe bestimmt werden, stellst du die Formel um: h=\frac{2A}{a+c} Mehr Beispiele und die Herleitung findest du im Artikel zum Flächeninhalt des Trapezes.
Beispiel: Rechtwinkliges Trapez: a=10 cm, c=6 cm, h=3 cm
- 1Grundseiten addieren: 10 cm + 6 cm = 16 cm
- 2Halbieren: 16 cm : 2 = 8 cm, das ist die Mittellinie m
- 3Mal Höhe: A = 8 cm · 3 cm = 24 cm²
Beispiel: Höhe gesucht: A=42 cm², a=8 cm, c=6 cm
- 1h=\frac{2A}{a+c}
- 2h = 2 · 42 cm² : (8 cm + 6 cm)
- 3h = 84 cm² : 14 cm = 6 cm
Teste dich
Der Umfang ist die Länge des Randes. Dafür addierst du alle vier Seiten: U=a+b+c+d Alle Längen müssen vor dem Addieren in derselben Einheit angegeben sein. Das Ergebnis erhält eine Längeneinheit wie Zentimeter, nicht eine Quadrateinheit. Fehlt eine Seite, ziehst du die drei bekannten Seiten vom Umfang ab. Für die Seite a gilt zum Beispiel: a=U-b-c-d Gehe bei einer Rechenaufgabe in dieser Reihenfolge vor: Markiere die parallelen Grundseiten. Prüfe, ob die eingezeichnete Strecke wirklich senkrecht auf den Grundseiten steht. Entscheide, ob Fläche, Umfang, Mittellinie oder eine fehlende Größe gesucht ist. Schreibe die passende Formel auf. Bringe alle Längen in dieselbe Einheit. Setze die Werte mit Einheiten ein und rechne. Prüfe, ob das Ergebnis eine Längen- oder Flächeneinheit braucht. Deine Aufgabe: Ein gleichschenkliges Trapez hat die Grundseiten a=12 cm und c=6 cm, die Höhe h=4 cm sowie die Schenkel b=5 cm und d=5 cm. Berechne Mittellinie, Flächeninhalt und Umfang.
Beispiel: Umfang des rechtwinkligen Trapezes aus dem Flächenbeispiel
- 1a=10 cm, b=5 cm, c=6 cm, d=3 cm
- 2U = 10 cm + 5 cm + 6 cm + 3 cm = 24 cm
- 3Gleicher Zahlenwert wie die Fläche, aber 24 cm und 24 cm² sind verschiedene Größen
Merke: Fläche beschreibt den Inhalt der Figur, Umfang ihren Rand. Für die Fläche brauchst du Grundseiten und Höhe; für den Umfang brauchst du alle vier Seiten.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Trapez
Aufbau
zwei parallele Grundseiten a und c, zwei Schenkel b und d
Höhe
senkrechter Abstand der Grundseiten, nicht der schräge Schenkel
Arten
gleichschenklig mit b=d, rechtwinklig mit zwei rechten Winkeln
Fläche
A=\frac{a+c}{2} \cdot h=m \cdot h
Umfang
U=a+b+c+d, in einer Längeneinheit
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Gleichschenkliges Trapez: Mittellinie, Fläche und Umfang
- 1Gegeben: a=14 cm, c=8 cm, h=4 cm, b=d=5 cm
- 2Mittellinie: m = (14 cm + 8 cm) : 2 = 11 cm
- 3Fläche: A = 11 cm · 4 cm = 44 cm²
- 4Umfang: U = 14 cm + 5 cm + 8 cm + 5 cm = 32 cm
Fehler finden
Trapez mit a=13 cm, c=5 cm, Schenkeln von 5 cm und h=3 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Hier wurde der Schenkel (5 cm) statt der Höhe eingesetzt. Die Höhe ist der senkrechte Abstand der Grundseiten: A = 9 cm · 3 cm = 27 cm².
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die parallelen Seiten eines Trapezes heißen . Die Höhe ist der Abstand zwischen ihnen. Der Umfang wird in angegeben.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback