Symmetrie erkennen: Achse, Punkt und Drehung

Zwei Figuren sind deckungsgleich, wenn sie beim Übereinanderlegen genau zusammenpassen. Bei einer symmetrischen Figur führt eine bestimmte Bewegung wieder zur Deckung mit der Ausgangsfigur. Eine Figur kann mehrere Symmetriearten gleichzeitig besitzen. Ein Quadrat hat zum Beispiel mehrere Symmetrieachsen und passt nach bestimmten Drehungen wieder auf sich selbst. Asymmetrisch heißt eine Figur bezogen auf die hier behandelten Bewegungen, wenn weder eine passende Spiegelung noch eine Drehung um einen Winkel zwischen 0^\circ und 360^\circ zur Deckung führt.

Bei der Achsensymmetrie wird eine Figur an einer Geraden gespiegelt. Diese Gerade heißt Symmetrieachse oder Spiegelachse. Du kannst Achsensymmetrie auf zwei einfache Arten prüfen: Faltprobe: Falte die Figur an der vermuteten Achse. Beide Hälften müssen vollständig übereinanderliegen. Spiegelprobe: Stelle einen Spiegel auf die vermutete Achse. Spiegelbild und verdeckte Figurenhälfte müssen zusammen die ursprüngliche Figur ergeben.

Bei der Drehsymmetrie wird eine Figur um einen festen Drehpunkt gedreht. Sie ist drehsymmetrisch, wenn sie bei einem Winkel kleiner als einer vollen Drehung wieder deckungsgleich erscheint. Ein Quadrat passt zum Beispiel nach einer Vierteldrehung um 90^\circ wieder auf sich selbst. Auch Drehungen um 180^\circ und 270^\circ führen zur Deckung. Bei einer Punktspiegelung liegen ein Ausgangspunkt, das Symmetriezentrum und der zugehörige Bildpunkt auf einer Geraden. Ausgangspunkt und Bildpunkt haben denselben Abstand zum Zentrum. Wie viele Symmetrien eine Figur hat, hängt von ihrer Form ab. Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen, weil jede Gerade durch seinen Mittelpunkt eine Spiegelachse ist. Zähle nicht nur sichtbare Hälften: Prüfe jede vermutete Achse durch Spiegeln oder Falten und jede vermutete Drehsymmetrie durch eine passende Drehung.

Auch ein Funktionsgraph kann symmetrisch sein. Für die hier betrachteten Symmetrien ersetzt du in der Funktionsgleichung x durch -x. Gilt f(-x)=f(x), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Gilt f(-x)=-f(x), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei einem vereinfachten Polynom kannst du auch die Exponenten untersuchen: Nur gerade Exponenten, einschließlich 0: Symmetrie zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten: Punktsymmetrie zum Ursprung. Gerade und ungerade Exponenten gemischt: keine dieser beiden einfachen Symmetrien. Ein konstanter Term c lässt sich als c x^0 schreiben. Der Exponent 0 ist gerade. Bei einem Term wie 3x ist der nicht ausgeschriebene Exponent 1 und damit ungerade.