Stochastik: Zufall, Wahrscheinlichkeit und Daten

Stochastische Fragen können in verschiedene Richtungen führen: Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht Wahrscheinlichkeiten in einem gegebenen Zufallsmodell. Die Statistik sammelt, beschreibt und interpretiert Daten. Sie kann außerdem von beobachteten Daten auf ein unbekanntes Modell schließen. Die Kombinatorik zählt Möglichkeiten systematisch und unterstützt dadurch viele Wahrscheinlichkeitsberechnungen.

Ein Zufallsexperiment kann unter gleichen Bedingungen wiederholt werden, sein einzelner Ausgang lässt sich aber nicht sicher vorhersagen. Ein Würfelwurf ist ein typisches Beispiel. Das Gegenereignis A^c umfasst alle Ergebnisse, bei denen A nicht eintritt. Zum Ereignis „gerade Augenzahl“ gehört daher das Gegenereignis „ungerade Augenzahl“ mit A^c=\{1,3,5\}. Das Modell legt fest, welche Merkmale wichtig sind. Für ein Würfelspiel genügt meist die Augenzahl. Bei einer Untersuchung ungültiger Würfe müsste die Ergebnismenge zusätzlich ein Ergebnis wie „ungültig“ enthalten.

Eine Wahrscheinlichkeit gibt an, wie sicher ein Ereignis in einem Zufallsmodell eintritt. Sie liegt zwischen 0 und 1 beziehungsweise zwischen 0 % und 100 %. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, liegt ein Laplace-Modell vor. Dann gilt: P(A)=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} Das Laplace-Modell darfst du nur verwenden, wenn die elementaren Ergebnisse tatsächlich gleich wahrscheinlich sind. Bei einem Reißnagel lässt sich das nicht allein aus der Anzahl der möglichen Lagen folgern. Die relative Häufigkeit beschreibt dagegen eine Beobachtung: h_{\mathrm{rel}}(A)=\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl aller Versuche}} Tritt ein Ereignis bei 30 Würfen 18-mal auf, beträgt seine relative Häufigkeit \frac{18}{30}=\frac{3}{5}=60\,\% Bei vielen Wiederholungen liegen relative Häufigkeiten häufig nahe bei der Modellwahrscheinlichkeit. In einer endlichen Versuchsreihe müssen beide Werte aber nicht übereinstimmen.

Statistik beginnt mit einer klaren Frage und passenden Daten. Die beschreibende Statistik ordnet und veranschaulicht Daten, etwa mit Tabellen, Säulen- oder Kreisdiagrammen. Kennwerte verdichten einen Datensatz zu wenigen Zahlen. Wichtige Kennwerte sind: Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten. Der Modalwert ist der am häufigsten vorkommende Wert. Die Spannweite ist die Differenz aus größtem und kleinstem Wert. Auch eine korrekte Rechnung garantiert noch keine gute Aussage. Eine Stichprobe muss zur untersuchten Grundgesamtheit passen, und Diagramme können durch abgeschnittene Achsen oder unklare Prozentbasen irreführen. Stochastisches Arbeiten folgt häufig einem Kreislauf: Du formulierst eine Frage aus einer realen Situation. Du wählst ein Modell und legst fest, welche Ergebnisse oder Daten wichtig sind. Du analysierst das Modell mathematisch oder wertest Daten aus. Du deutest das Ergebnis im ursprünglichen Zusammenhang. Du prüfst, ob Modell, Stichprobe und Schlussfolgerung angemessen sind. Zu den weiterführenden Werkzeugen gehören Baumdiagramme und Pfadregeln für mehrstufige Experimente, Vierfeldertafeln für bedingte Anteile sowie Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben Lage und Streuung einer Verteilung. Hypothesentests untersuchen Behauptungen anhand von Daten, können Irrtümer aber nicht vollständig ausschließen.