Mathematik · Klasse 13 · aktualisiert
Standardnormalverteilung: z-Werte berechnen
Du lernst, Werte mit dem z-Wert zu standardisieren und mit \Phi Wahrscheinlichkeiten für Grenzen und Intervalle zu bestimmen.
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Kurz gesagt
Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1, kurz Z\sim N(0,1). Jeden Wert einer Normalverteilung rechnest du mit z=\frac{x-\mu}{\sigma} in einen z-Wert um. Die Wahrscheinlichkeit links davon liest du als \Phi(z) aus der Tabelle ab.
Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Durch Standardisieren kannst du jede normalverteilte Zufallsgröße auf sie zurückführen und Wahrscheinlichkeiten mit der Verteilungsfunktion \Phi bestimmen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine normalverteilte Zufallsgröße X wird durch den Erwartungswert \mu und die Varianz \sigma^2 beschrieben: X\sim N(\mu,\sigma^2) Der Erwartungswert \mu bestimmt die Lage der Glockenkurve. Die Standardabweichung \sigma>0 beschreibt ihre Breite: Ein größeres \sigma führt zu einer breiteren und flacheren Kurve. Ihre Dichte lautet \varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}. Die Glockenkurve ist zur senkrechten Achse bei z=0 symmetrisch. Dort liegt ihr Hochpunkt; ihre Wendepunkte liegen bei z=-1 und z=1. Die gesamte Fläche unter der Kurve beträgt 1.
Definition
Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung Z\sim N(0,1). Sie hat den Erwartungswert 0, die Standardabweichung 1 und keine Maßeinheit.
Merke: Bei einer stetigen Verteilung entspricht eine Wahrscheinlichkeit einer Fläche unter der Dichtekurve. Die Höhe der Kurve an einer Stelle ist nicht die Wahrscheinlichkeit dieses Einzelwerts. Es gilt sogar P(Z=a)=0 für jeden einzelnen Wert a.
Teste dich
Ein Wert x aus einer Normalverteilung wird mit der z-Transformation standardisiert: z=\frac{x-\mu}{\sigma}. Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt ist. Bei z=0 liegt der Wert genau beim Mittelwert. Bei z=2 liegt er zwei Standardabweichungen darüber, bei z=-1{,}5 eineinhalb Standardabweichungen darunter. Beim Standardisieren verschwindet die Maßeinheit. Deshalb kannst du Werte aus verschiedenen Normalverteilungen auf derselben Skala vergleichen.
Beispiel: Körpergröße 200 cm bei \mu=180\,\text{cm} und \sigma=10\,\text{cm}
- 1z=\frac{200\,\text{cm}-180\,\text{cm}}{10\,\text{cm}}=2
- 2Die Zentimeter kürzen sich, der z-Wert hat keine Einheit.
- 3200 cm liegen zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.
Merke: So standardisierst du: x, \mu und \sigma bestimmen, alles in dieselbe Einheit bringen, den Mittelwert abziehen, durch die Standardabweichung teilen. Das Vorzeichen zeigt die Richtung, der Betrag den Abstand in Standardabweichungen.
Teste dich
Die Verteilungsfunktion \Phi sammelt die Fläche links von einer Grenze z: \Phi(z)=P(Z\le z)=\int_{-\infty}^{z}\varphi(t)\,dt. Den Wert liest du aus einer Tabelle ab oder bestimmst ihn mit dem Taschenrechner. Für z=2{,}24 suchst du in der z-Tabelle die Zeile 2{,}2 und die Spalte 0{,}04. Am Schnittpunkt steht 0{,}9875, also P(Z\le 2{,}24)=0{,}9875. Bei einer stetigen Verteilung ist es egal, ob eine Grenze mit < oder \le geschrieben wird. Weil die Glockenkurve symmetrisch ist, brauchst du nur Tabellenwerte für positive z. Aus P(Z\le 1{,}30)=0{,}9032 folgt zum Beispiel P(Z\le -1{,}30)=1-0{,}9032=0{,}0968.
| Gesucht | Formel |
|---|---|
| links von z | P(Z\le z)=\Phi(z) |
| rechts von z | P(Z>z)=1-\Phi(z) |
| zwischen a und b | P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a) |
| links von −z | \Phi(-z)=1-\Phi(z) |
| zwischen −z und z | P(-z\le Z\le z)=2\Phi(z)-1 |
Beispiel: Fläche rechts von z=2
- 1Tabelle: P(Z\le 2{,}00)=0{,}9772
- 2Links von 2 liegen also 97,72 % der Fläche.
- 3Rechts davon: 1-0{,}9772=0{,}0228, also 2,28 %
Teste dich
Für X\sim N(\mu,\sigma^2) standardisierst du jede Grenze einzeln: P(a\le X\le b)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right). Bei nur einer oberen Grenze gilt P(X\le x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right). Für normalverteilte Größen gilt die Sigma-Regel: Etwa 68,3 % der Werte liegen höchstens eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, etwa 95,4 % höchstens zwei und etwa 99,7 % höchstens drei. Die Standardnormalverteilung ist aber ein Rechenmodell. Eine ungefähr glockenförmige Messreihe beweist noch keine Normalverteilung, und ungewöhnliche Werte sind nicht automatisch Messfehler. Ob das Modell passt, prüft die Standardisierung nicht: Das musst du vorher aus dem Sachzusammenhang begründen.
Beispiel: Körpergröße zwischen 193 cm und 200 cm bei \mu=180\,\text{cm}, \sigma=10\,\text{cm}
- 1Untere Grenze: z_a=\frac{193-180}{10}=1{,}3
- 2Obere Grenze: z_b=\frac{200-180}{10}=2
- 3Tabelle: P(Z\le 1{,}30)=0{,}9032 und P(Z\le 2{,}00)=0{,}9772
- 4P(193\le X\le200)=0{,}9772-0{,}9032=0{,}074
- 5Nach dem Modell liegen 7,4 % der Körpergrößen zwischen 193 cm und 200 cm.
Merke: Bei einem Intervall reicht ein einziger z-Wert nicht. Standardisiere die untere und die obere Grenze getrennt und bilde dann \Phi(z_b)-\Phi(z_a).
Teste dich
Alles auf einen Blick
Standardnormalverteilung
Kennwerte
Mittelwert 0 und Standardabweichung 1
Standardisierung
z=(x-\mu)/\sigma
Verteilungsfunktion
\Phi(z)=P(Z\le z)
Intervalle
Differenz zweier \Phi-Werte
Symmetrie
\Phi(-z)=1-\Phi(z)
Modellgrenze
Glockenform allein beweist keine Normalverteilung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Lea hat 72 Punkte in Mathe (\mu=60, \sigma=8) und 78 Punkte in Deutsch (\mu=70, \sigma=5). Wo war sie besser?
- 1Mathe: z_M=\frac{72-60}{8}=1{,}5
- 2Deutsch: z_D=\frac{78-70}{5}=1{,}6
- 31{,}6>1{,}5: In Deutsch liegt Lea weiter über dem Durchschnitt.
- 4Tabelle: P(Z\le 1{,}60)=0{,}9452
- 5Nach dem Modell schneiden in Deutsch etwa 94,5 % schlechter ab als Lea.
Fehler finden
X\sim N(100,\,225): Wie groß ist P(X\le130)? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Geteilt wird durch die Standardabweichung, nicht durch die Varianz: \sigma=\sqrt{225}=15, also z=\frac{130-100}{15}=2 und P(X\le130) ist etwa 97,7 %.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Standardisieren ziehst du zuerst vom betrachteten Wert ab. Danach teilst du durch . Ein negativer z-Wert liegt des Mittelwerts.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback