Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Punktprobe: Punkt auf Graph oder Gerade prüfen
Liegt ein Punkt auf dem Graphen oder der Geraden? Du setzt seine Koordinaten ein, prüfst die Aussage und bestimmst fehlende Koordinaten.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Bei der Punktprobe setzt du die Koordinaten eines Punktes in die Gleichung ein. Entsteht eine wahre Aussage, liegt der Punkt darauf, sonst nicht. Beispiel: Für f(x)=2x-3 und P(2|1) gilt f(2)=2\cdot2-3=1, also liegt P auf dem Graphen.
Bei der Punktprobe setzt du die Koordinaten eines Punktes in eine Gleichung ein. Entsteht eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Graphen oder der Geraden. Entsteht eine falsche Aussage, liegt er nicht darauf.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Punkt P(x_P|y_P) liegt genau dann auf dem Graphen von f, wenn f(x_P)=y_P gilt. Die erste Koordinate ist der einzusetzende x-Wert. Die zweite Koordinate muss dem berechneten Funktionswert entsprechen. Gehe in drei Schritten vor: Setze die erste Koordinate für x ein. Berechne f(x_P). Vergleiche das Ergebnis mit y_P und schreib einen Antwortsatz. Das klappt bei linearen und quadratischen Funktionen gleich: Du setzt den x-Wert stets in den vollständigen Funktionsterm ein. Bei Potenzen rechnest du zuerst x^2, dann die Multiplikationen, dann Plus und Minus. Negative Zahlen setzt du in Klammern ein.
Definition
Punktprobe
Die Punktprobe ist eine rechnerische Prüfung: Du setzt die Koordinaten eines Punktes in die zugehörige Gleichung ein und entscheidest, ob die entstehende Aussage wahr oder falsch ist.
Beispiel: Liegen P(2|1) und Q(3|4) auf dem Graphen von f(x)=2x-3?
- 1f(2)=2\cdot2-3=1
- 2Der Funktionswert 1 ist gleich der zweiten Koordinate: P liegt auf dem Graphen.
- 3f(3)=2\cdot3-3=3
- 4Wegen 3\ne4 liegt Q nicht auf dem Graphen.
Beispiel: Liegen P(2|18) und Q(5|14) auf dem Graphen von f(x)=3x^2+4x-2?
- 1f(2)=3\cdot2^2+4\cdot2-2=18
- 2Also liegt P auf dem Graphen.
- 3f(5)=3\cdot5^2+4\cdot5-2=93
- 4Wegen 93\ne14 liegt Q nicht auf dem Graphen.
Teste dich
Fehlt die zweite Koordinate, setzt du den bekannten x-Wert ein und berechnest den Funktionswert. Fehlt die erste Koordinate, setzt du den bekannten y-Wert ein und löst die Gleichung nach x auf.
Beispiel: Fehlende Koordinaten bei P(1|?) und Q(?|7)
- 1P(1|?) bei f(x)=5x+3: y=f(1)=5\cdot1+3=8, also P(1|8).
- 2Q(?|7) bei g(x)=2x-3: 7=2x-3
- 3+3 auf beiden Seiten: 10=2x
- 4:2 auf beiden Seiten: x=5
- 5Der Punkt lautet Q(5|7).
Merke: Fehlt y: einsetzen und ausrechnen. Fehlt x: den bekannten y-Wert einsetzen und die Gleichung nach x lösen.
Teste dich
Eine Gerade muss nicht als Funktion y=f(x) gegeben sein. Das Grundprinzip bleibt gleich: Setze alle Punktkoordinaten an den passenden Stellen ein und prüfe die entstehende Aussage. Koordinatenform: Bei einer Geraden wie 2x+5y=-2 setzt du x und y direkt ein. Normalenform: In einer Normalenform setzt du den Punktvektor ein. Danach bildest du die Differenz und das Skalarprodukt. Damit der Punkt auf der Geraden liegt, muss das Ergebnis 0 sein.
Beispiel: Liegt R(4|-2) auf der Geraden 2x+5y=-2?
- 12\cdot4+5\cdot(-2)=8-10=-2
- 2Es entsteht die wahre Aussage -2=-2. Also liegt R auf der Geraden.
Beispiel: Liegt Q(1|4) auf der Geraden \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\cdot\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}\right]=0?
- 1Differenz: \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\11\end{pmatrix}
- 2Skalarprodukt: \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\11\end{pmatrix}=1\cdot(-1)+3\cdot11=32
- 3Wegen 32\ne0 liegt Q nicht auf der Geraden.
Teste dich
Eine Gerade im Raum kann als Startpunkt plus ein Vielfaches eines Richtungsvektors beschrieben werden. Der veränderliche Faktor heißt Parameter.
Definition
Gemeinsamer Parameter
Ein Punkt liegt auf einer Geraden in Parameterform, wenn alle Koordinatengleichungen denselben Parameterwert liefern. Unterschiedliche Werte bedeuten, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt.
Beispiel: Liegt P(3|-1|8) auf g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}?
- 1x-Koordinate: 3=2+r \Rightarrow r=1
- 2y-Koordinate: -1=-4+3r \Rightarrow r=1
- 3z-Koordinate: 8=1+7r \Rightarrow r=1
- 4Alle drei Gleichungen liefern r=1. Also liegt P auf der Geraden.
Merke: Es reicht nicht, dass nur eine Koordinatengleichung passt. Alle Koordinaten müssen mit demselben Parameterwert übereinstimmen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Punktprobe
Funktion
f(x_P) berechnen und mit y_P vergleichen
Fehlende Koordinate
für y einsetzen, für x die Gleichung lösen
Koordinatenform
alle Koordinaten einsetzen, wahre Aussage prüfen
Normalenform
das Skalarprodukt muss 0 ergeben
Parameterform
alle Gleichungen liefern denselben Parameter
Antwortsatz
die Lage des Punktes immer begründen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Bestimme die fehlende Koordinate von B(?|11) für f(x)=3x-4.
- 1Der y-Wert ist bekannt: 11=3x-4
- 2+4 auf beiden Seiten: 15=3x
- 3:3 auf beiden Seiten: x=5
- 4Probe: f(5)=3\cdot5-4=11
- 5Der Punkt lautet B(5|11).
Fehler finden
Liegt P(-3|5) auf dem Graphen von f(x)=x^2-4? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die -3 wurde ohne Klammern eingesetzt, dann wird nur die 3 quadriert. Richtig ist f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5. Also liegt P auf dem Graphen.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei der Punktprobe setzt du die Koordinate für x ein. Stimmt der Funktionswert mit der zweiten Koordinate überein, liegt der Punkt dem Graphen. In Parameterform müssen alle Gleichungen Parameterwert liefern.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback