Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Differentialrechnung einfach erklärt: Ableitungen
Die Differentialrechnung misst, wie schnell sich eine Funktion ändert. Du lernst, Ableitungen zu bilden und für Graphen, Tangenten und Optimierungen zu nutzen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Differentialrechnung untersucht, wie schnell sich eine Funktion an einer Stelle ändert. Ihr Werkzeug ist die Ableitung f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}: die momentane Änderungsrate und zugleich die Steigung der Tangente. Beispiel: Für f(x) = x^2 ist f'(x) = 2x.
Der Tacho zeigt dir nicht, wie schnell du im Schnitt warst, sondern wie schnell du gerade jetzt fährst. Genau diese momentane Änderung berechnet die Differentialrechnung. Die Ableitung f'(x) beschreibt die lokale Änderungsrate einer Funktion und zugleich die Steigung der Tangente an ihren Graphen. Hier gehst du den Weg von der mittleren zur momentanen Änderung, leitest Funktionen mit Regeln ab und nutzt Ableitungen für Graphen, Tangenten und Optimierungen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Wie schnell verändert sich eine Größe? Für ein ganzes Intervall [a; b] beantwortet das die mittlere Änderungsrate, der Differenzenquotient \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. Geometrisch ist er die Steigung der Sekante durch die Graphenpunkte (a \mid f(a)) und (b \mid f(b)). Für die Steigung genau an einer Stelle x lässt du den zweiten Punkt immer näher an den ersten rücken. Der Abstand der beiden x-Werte heißt h. Du darfst aber nicht sofort h = 0 einsetzen, denn dann teilst du durch null. Zuerst vereinfachst du den Quotienten für h \neq 0, erst danach bildest du den Grenzwert für h \to 0. Für f(x) = x^2 ergibt sich so f'(x) = 2x, bei x = 3 also die Steigung f'(3) = 6. Nicht jede Funktion hat überall eine Ableitung: An einer scharfen Ecke des Graphen gibt es keine eindeutige Tangente.
Definition
Ableitung
Existiert der Grenzwert f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}, so heißt f an der Stelle x differenzierbar. Der Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von f an dieser Stelle. Er ist die momentane Änderungsrate und die Steigung der Tangente.
Beispiel: Fallender Körper: s(t) = 5t^2
- 1Weg in Metern nach t Sekunden: s(t) = 5t^2
- 2Von 3 s bis 4 s: \frac{s(4) - s(3)}{4 - 3} = \frac{80 - 45}{1} = 35, also 35 m/s
- 3Von 3 s bis 3,1 s: \frac{s(3{,}1) - s(3)}{3{,}1 - 3} = \frac{48{,}05 - 45}{0{,}1} = 30{,}5, also 30,5 m/s
- 4Je kürzer das Intervall, desto näher liegt der Wert an 30 m/s.
- 5Das ist die Geschwindigkeit genau im Moment t = 3 s.
Merke: Der Differenzenquotient beschreibt einen Durchschnitt über ein Intervall. Die Ableitung beschreibt die Änderung in einem Moment, also an einer Stelle.
Teste dich
Die Grenzwertdefinition erklärt, was eine Ableitung ist. Beim Rechnen nutzt du meist Regeln. Mit Konstanten-, Potenz-, Faktor- und Summenregel leitest du Polynome Glied für Glied ab. Für Produkte, Quotienten und Verkettungen brauchst du Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Bei der Kettenregel hilft der Satz: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Alle Regeln mit vielen Beispielen findest du unter Ableitungsregeln.
| Regel | Formel |
|---|---|
| Konstantenregel | (c)' = 0 |
| Potenzregel | (x^n)' = n \cdot x^{n-1} |
| Faktorregel | (c \cdot f)' = c \cdot f' |
| Summenregel | (f + g)' = f' + g' |
| Produktregel | (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' |
| Quotientenregel | \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} mit g \neq 0 |
| Kettenregel | (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) |
Beispiel: f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 19 ableiten
- 1Potenzregel Glied für Glied: f'(x) = 3x^2 - 18x + 24
- 2Die Konstante -19 fällt weg, sie ändert sich nicht mit x.
- 3Noch einmal ableiten: f''(x) = 6x - 18
Teste dich
Die Werte von f' sind die Steigungen von f. Ist f' in einem Intervall positiv, steigt f dort streng. Ist f' negativ, fällt f streng. Bei f'(x) = 0 hat der Graph eine waagerechte Tangente. Eine solche Stelle ist aber nur ein Kandidat für einen Hoch- oder Tiefpunkt: Bei f(x) = x^3 gilt f'(0) = 0, der Graph steigt aber vor und nach 0 weiter. Sicher entscheidet ein Vorzeichenwechsel von f': Wechselt f' von plus nach minus, liegt ein lokales Maximum vor, von minus nach plus ein lokales Minimum. Gilt f'(p) = 0, hilft oft die zweite Ableitung: f''(p) < 0 bedeutet Maximum, f''(p) > 0 Minimum. Bei f''(p) = 0 entscheidet sie nicht, dann prüfst du den Vorzeichenwechsel von f'.
Definition
Lokales Extremum
An einem lokalen Maximum sind die Funktionswerte in der Nähe nicht größer als der betrachtete Wert. An einem lokalen Minimum sind sie nicht kleiner.
Beispiel: Hoch- und Tiefpunkt von f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 19
- 1f'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x - 2)(x - 4)
- 2Kandidaten: x = 2 und x = 4
- 3Vor 2 ist f' > 0, zwischen 2 und 4 ist f' < 0: Hochpunkt bei x = 2
- 4Nach 4 ist f' > 0: Tiefpunkt bei x = 4
- 5f(2) = 1 und f(4) = -3, also H(2 \mid 1) und T(4 \mid -3)
Teste dich
Die Tangente an den Graphen von f bei x_0 hat im Berührpunkt denselben Funktionswert und dieselbe Steigung wie f: T(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0). Für f(x) = x^2 bei x_0 = 1 gilt f(1) = 1 und f'(1) = 2, also T(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1. Bei einer Optimierung suchst du den größten oder kleinsten Wert einer Zielgröße. Stelle die Zielgröße als Funktion auf und beachte die Nebenbedingung und den zulässigen Bereich. Löse dann f'(x) = 0 und prüfe die Art der Kandidaten. Vergleiche bei einem abgeschlossenen Intervall auch die Randwerte und gib das Ergebnis mit Einheit an.
Beispiel: Größtes Rechteck mit 100 m Zaun
- 1Nebenbedingung: 2a + 2b = 100, also a = 50 - b
- 2Zielfunktion: A(b) = b(50 - b) = 50b - b^2 mit 0 \le b \le 50
- 3Ableitung: A'(b) = 50 - 2b
- 4A'(b) = 0 ergibt b = 25, wegen A''(b) = -2 < 0 ein Maximum
- 5Dann ist a = 50 - 25 = 25, also A = 25 \cdot 25 = 625 m²
- 6Das Quadrat mit 25 m Seitenlänge hat die größte Fläche.
Merke: Eine Lösung von f'(x) = 0 ist zunächst nur ein Kandidat. Prüfe seine Art, den zulässigen Bereich und bei Bedarf die Randwerte.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Differentialrechnung
Änderungsraten
Der Differenzenquotient misst die mittlere, die Ableitung die momentane Änderung
Ableitung
Grenzwert der Sekantensteigungen, gleich der Tangentensteigung
Rechenregeln
Potenz-, Faktor- und Summenregel, dazu Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
Graph
f' > 0 heißt steigend, f' < 0 fallend, ein Vorzeichenwechsel von f' zeigt ein Extremum
Anwendungen
Momentangeschwindigkeit, Tangentengleichung und Optimierung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Tangente an f(x) = x^3 - 2x bei x_0 = 2
- 1Funktionswert: f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 = 4, also P(2 \mid 4)
- 2Ableitung mit der Potenzregel: f'(x) = 3x^2 - 2
- 3Steigung: f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 10
- 4Punkt-Steigungs-Form: t(x) = 10(x - 2) + 4
- 5Ausmultiplizieren: t(x) = 10x - 16
- 6Probe: t(2) = 20 - 16 = 4 = f(2)
Fehler finden
Hat f(x) = x^3 + 2 bei x = 0 ein Extremum? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Aus f'(0) = 0 folgt nur ein Kandidat. f'(x) = 3x^2 ist links und rechts von 0 positiv, es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Der Graph steigt weiter: Bei (0 \mid 2) liegt ein Sattelpunkt, kein Tiefpunkt.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Differenzenquotient beschreibt die Änderung in einem Intervall. Die Ableitung f'(x_0) ist die Steigung der bei x_0. Ist f' in einem Intervall negativ, der Graph von f dort.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback