Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Partielle Integration: Formel, Beispiele und Übungen
Partielle Integration ist die Produktregel rückwärts. Du lernst die Formel, die richtige Faktorwahl, mehrfache Anwendung und die Kontrolle durch Ableiten.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die partielle Integration berechnet Integrale von Produkten mit der Formel \int u\,v'\,dx=uv-\int u'v\,dx+C. Du leitest den Faktor u ab und integrierst v'. Bei \int x\cos(x)\,dx wählst du u=x und v'=\cos(x) und erhältst x\sin(x)+\cos(x)+C.
Beim Ableiten hilft dir die Produktregel. Beim Integrieren gibt es keine so einfache Regel für Produkte. Mit der partiellen Integration drehst du die Produktregel um: Du leitest einen Faktor ab, integrierst den anderen und bekommst ein neues Integral, das Restintegral. Entscheidend ist, die Faktoren so zu wählen, dass dieses Restintegral einfacher wird.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Methode passt besonders zu Produkten wie Polynom mal trigonometrische Funktion (x\cos(x)), Polynom mal Exponentialfunktion (xe^x) oder Polynom mal Logarithmus (x\ln(x)). Sie kommt aus der Produktregel (uv)'=u'v+uv'. Integrierst du beide Seiten, erhältst du uv=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx. Stellst du nach dem zweiten Integral um, entsteht die Formel mit dem Minuszeichen vor dem Restintegral. Beim bestimmten Integral gilt \int_a^b uv'\,dx=[uv]_a^b-\int_a^b u'v\,dx, dort steht kein +C, weil ein Zahlenwert herauskommt.
Definition
Restintegral
Das Restintegral ist das Integral \int u'v\,dx, das nach Anwendung der Formel übrig bleibt. Die Faktorwahl ist günstig, wenn es leichter zu berechnen ist als das Ausgangsintegral.
Merke: \int u\,v'\,dx=uv-\int u'v\,dx+C: u wird abgeleitet, v' wird integriert. Vor dem Restintegral steht ein Minus.
Teste dich
Zerlege den Integranden in u \cdot v'. Prüfe dann: Wird u' einfacher als u? Kannst du zu v' leicht eine Stammfunktion v bilden? Wird das Restintegral einfacher als die Ausgangsaufgabe? Bei einem Polynom mal Sinus, Kosinus oder e^x nimmst du meist das Polynom als u, denn sein Grad sinkt beim Ableiten. Die Merkhilfe LIATE gibt eine Reihenfolge für den abzuleitenden Faktor vor. Sie ist nur eine Faustregel: Entscheidend bleibt, ob das Restintegral wirklich einfacher wird.
| LIATE | Funktionstyp | Beispiel |
|---|---|---|
| L | logarithmisch | \ln(x) |
| I | inverse trigonometrisch | \arctan(x) |
| A | algebraisch, zum Beispiel Polynome | x^2 |
| T | trigonometrisch | \cos(x) |
| E | exponentiell | e^x |
Beispiel: Faktorwahl bei \int x\cos(x)\,dx
- 1u=x und v'=\cos(x)
- 2u'=1 und v=\sin(x)
- 3Restintegral \int \sin(x)\,dx: direkt lösbar, die Wahl ist günstig.
Teste dich
Du gehst immer in denselben Schritten vor: Faktoren wählen, u' und v bilden, in die Formel einsetzen, das Restintegral berechnen und zum Schluss +C ergänzen. Achte beim Restintegral auf die Vorzeichen: Eine Stammfunktion von \sin(x) ist -\cos(x). Prüfe dein Ergebnis durch Ableiten, es muss wieder der Integrand herauskommen. Zwei verschieden aussehende Ergebnisse können beide stimmen, wenn sie sich nur um eine Konstante unterscheiden. Beim bestimmten Integral setzt du die Grenzen ein: \int_0^\pi x\cos(x)\,dx=[x\sin(x)+\cos(x)]_0^\pi=-2.
Beispiel: \int x\cos(x)\,dx berechnen
- 1u=x, v'=\cos(x), also u'=1, v=\sin(x)
- 2\int x\cos(x)\,dx=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx
- 3=x\sin(x)-(-\cos(x))
- 4=x\sin(x)+\cos(x)+C
- 5Probe: (x\sin(x)+\cos(x))'=\sin(x)+x\cos(x)-\sin(x)=x\cos(x)
Teste dich
Bei einem Polynom höheren Grades reicht ein Schritt oft nicht. Enthält das Restintegral noch ein Produkt, integrierst du es erneut partiell. Bei jedem Schritt sinkt der Polynomgrad, bei x^2 also über 2x auf 2. Achte beim Einsetzen auf das Minus vor dem Restintegral. Eine einzelne Funktion wie \ln(x) schreibst du für x>0 als 1 \cdot \ln(x) und wählst u=\ln(x), v'=1. Manchmal taucht nach der Rechnung das Ausgangsintegral wieder auf. Dann ist die Rechnung nicht gescheitert: Behandle es wie eine Unbekannte I und löse die Gleichung, zum Beispiel I=2-I, also 2I=2 und I=1.
Beispiel: \int x^2\cos(x)\,dx mit zwei Schritten
- 11. Schritt: \int x^2\cos(x)\,dx=x^2\sin(x)-\int 2x\sin(x)\,dx
- 22. Schritt: \int 2x\sin(x)\,dx=-2x\cos(x)+2\sin(x)
- 3Einsetzen: x^2\sin(x)-(-2x\cos(x)+2\sin(x))
- 4Ergebnis: x^2\sin(x)+2x\cos(x)-2\sin(x)+C
Beispiel: \int \ln(x)\,dx mit dem Faktor 1
- 1u=\ln(x), v'=1, also u'=\frac{1}{x}, v=x
- 2\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-\int 1\,dx
- 3=x\ln(x)-x+C
Merke: Wiederhole die partielle Integration, solange das Restintegral dadurch einfacher wird.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Partielle Integration
Produktregel rückwärts
Produktterm minus Restintegral
Faktorwahl
das Ableiten soll vereinfachen, meist das Polynom als u
Mehrfache Anwendung
den Polynomgrad Schritt für Schritt senken
Sonderfall
fehlenden Faktor 1 ergänzen, etwa bei \ln(x)
Kontrolle
die Stammfunktion ableiten
Bestimmtes Integral
Randterm [uv]_a^b auswerten, kein +C
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\int_0^1 xe^x\,dx berechnen
- 1u=x, v'=e^x, also u'=1, v=e^x
- 2\int_0^1 xe^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
- 3=[xe^x-e^x]_0^1
- 4=(1 \cdot e-e)-(0-1)
- 5=0+1=1
Fehler finden
\int x\sin(x)\,dx berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Minus mal Minus ergibt Plus: -\int (-\cos(x))\,dx=+\int \cos(x)\,dx. Richtig ist \int x\sin(x)\,dx=-x\cos(x)+\sin(x)+C.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei der partiellen Integration wird u , während v' wird. Vor dem Restintegral steht ein .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback