Pascalsches Dreieck einfach erklärt

Oben beginnst du mit einer einzelnen 1. Jede neue Zeile hat einen Eintrag mehr als die vorherige. An beide Ränder schreibst du 1. Für jeden inneren Eintrag addierst du die beiden Zahlen schräg darüber. Die Zeilen zählst du von oben ab 0, die oberste einzelne 1 ist also Zeile 0.

Zeilen und Positionen zählst du beide ab 0. Der Eintrag an Position k in Zeile n heißt Binomialkoeffizient \binom{n}{k}. In Zeile 5 steht an Position 2 die Zahl 10, also ist \binom{5}{2}=10. Position 2 ist der dritte Eintrag, weil die Zählung bei 0 beginnt. Auch Wege erklären die Zahlen: Gehst du von der Spitze bei jedem Schritt schräg nach links oder rechts, zählt jedes Feld die Wege, die dort ankommen. Jeder Weg führt über eines der beiden Felder darüber, deshalb addieren sich deren Wegzahlen.

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Termen, zum Beispiel a+b. Die Zahlen in Zeile n sind genau die Koeffizienten beim Ausmultiplizieren von (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k. Dabei sinkt der Exponent von a Schritt für Schritt von n auf 0, und der Exponent von b steigt von 0 auf n. In jedem Term ergeben beide Exponenten zusammen n. Bei (a-b)^n bleiben die Koeffizienten gleich, nur die Vorzeichen wechseln, weil ungerade Potenzen von -b negativ sind: (a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4.

Das Dreieck ist an seiner senkrechten Mitte gespiegelt. Deshalb gilt \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}. Beim Auswählen heißt das: Ob du die k gewählten oder die n-k nicht gewählten Elemente festlegst, beschreibt dieselbe Auswahl. Die Summe der Zeile n ist 2^n, denn beim Bau der nächsten Zeile geht jeder Eintrag zweimal weiter, einmal nach links und einmal nach rechts. Auch in den Diagonalen stecken Folgen: Nach der Randdiagonale aus Einsen kommt 1, 2, 3, 4, …, danach kommen die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, … Färbst du gerade und ungerade Einträge verschieden, entsteht ein selbstähnliches Dreiecksmuster.