Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Negative Exponenten verstehen und sicher berechnen
Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert. Du lernst, woher er kommt, wie du ihn umwandelst und wie die Potenzgesetze mit ihm funktionieren.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein negativer Exponent bedeutet: Bilde den Kehrwert und schreibe den Exponenten positiv. Für a \ne 0 gilt a^{-n} = \frac{1}{a^n}, zum Beispiel 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}. Der Wert wird dadurch nicht negativ.
Ein negativer Exponent bedeutet: Bilde den Kehrwert und mache den Exponenten positiv. Für jede Basis a \ne 0 und jede positive natürliche Zahl n gilt a^{-n} = \frac{1}{a^n}. Solche Potenzen begegnen dir bei sehr kleinen Größen: 10^{-3} Meter sind ein Millimeter. Hier lernst du, warum die Regel gilt, wie du negative Potenzen berechnest und wie die Potenzgesetze mit ihnen funktionieren.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Teilst du Potenzen mit gleicher Basis, subtrahierst du die Exponenten. Ist der Exponent im Nenner größer, wird die Differenz negativ. Kürzt du dieselbe Aufgabe ohne Potenzgesetz, bleibt ein Bruch mit 1 im Zähler. Beide Wege müssen denselben Wert ergeben. Deshalb bedeutet ein negativer Exponent einen Kehrwert. Die Basis darf dabei nicht 0 sein, sonst stünde 0 im Nenner. Auch der Exponent 0 passt zur Divisionsregel: Für a \ne 0 gilt \frac{a^n}{a^n} = a^0 = 1.
Beispiel: \frac{2^2}{2^6} auf zwei Wegen
- 1Potenzgesetz: Exponenten subtrahieren, 2 - 6 = -4
- 2So wird aus \frac{2^2}{2^6} die Potenz 2^{-4}.
- 3Kürzen: \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}
- 4Beide Wege gelten, also ist 2^{-4} = \frac{1}{2^4}.
Definition
Kehrwert
Den Kehrwert einer von null verschiedenen Zahl bekommst du, wenn du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von a ist \frac{1}{a}, der Kehrwert von \frac{3}{5} ist \frac{5}{3}.
Merke: Ein Minus im Exponenten verlangt einen Kehrwert. Es macht den Wert der Potenz nicht negativ.
Teste dich
Gehe in drei Schritten vor. Prüfe zuerst, ob der Exponent negativ ist. Bilde dann den Kehrwert der Potenz und schreibe den Exponenten positiv. Berechne zum Schluss den Nenner, wenn nötig. Beim Exponenten -1 ist der Weg besonders kurz: a^{-1} = \frac{1}{a}. Auch bei Zehnerpotenzen gilt dieselbe Regel. So schreibst du sehr kleine Zahlen kurz.
Beispiel: 6^{-3} berechnen
- 1Der Exponent -3 ist negativ.
- 2Kehrwert bilden, Exponent positiv schreiben: 6^{-3} = \frac{1}{6^3}
- 36^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216
- 4Also ist 6^{-3} = \frac{1}{216}.
- 5Plausibel: Der Kehrwert einer Zahl größer als 1 liegt zwischen 0 und 1.
| Potenz | Bruch | Dezimalzahl |
|---|---|---|
| 2^{-1} | \frac{1}{2} | 0,5 |
| 10^{-1} | \frac{1}{10} | 0,1 |
| 10^{-2} | \frac{1}{100} | 0,01 |
| 10^{-4} | \frac{1}{10.000} | 0,0001 |
Teste dich
Die bekannten Potenzgesetze gelten auch für ganzzahlige Exponenten, sofern alle Potenzen und Quotienten definiert sind. Bei einem negativen Exponenten darf die Basis nicht null sein, bei einer Division der Nenner nicht. Das Minuszeichen gehört fest zu seinem Exponenten. Setze negative Exponenten beim Rechnen in Klammern. Dann wird aus der Subtraktion einer negativen Zahl sichtbar eine Addition.
| Gesetz | Beispiel mit negativem Exponenten |
|---|---|
| gleiche Basis multiplizieren: a^m \cdot a^n = a^{m + n} | 4^7 \cdot 4^{-5} = 4^{7 + (-5)} = 4^2 = 16 |
| gleiche Basis dividieren: \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} | \frac{2^4}{2^{-3}} = 2^{4 - (-3)} = 2^7 = 128 |
| Potenz potenzieren: (a^m)^n = a^{m \cdot n} | (2^4)^{-3} = 2^{-12} = \frac{1}{4096}, denn 4 \cdot (-3) = -12 |
Merke: Den Exponenten im Nenner ziehst du immer ganz ab. Ist er negativ, hilft die Klammer: 4 - (-3) = 4 + 3 = 7.
Teste dich
Drei Fehler passieren besonders oft. Erstens: Das Minus im Exponenten wird als Vorzeichen gelesen. Dabei ist 3^{-2} = \frac{1}{9}, aber -3^2 = -(3^2) = -9. Zweitens: Die Basis wird beim Kehrwert verändert. Richtig ist a^{-n} = \frac{1}{a^n}, die Basis bleibt gleich. Drittens: Bei der Division wird ein negativer Nennerexponent nicht vollständig abgezogen. Haben zwei Potenzen denselben Exponenten, kannst du außerdem ihre Basen zusammenfassen: \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n mit b \ne 0. Bei negativem n darf auch a nicht null sein.
Beispiel: \frac{4^{-3}}{20^{-3}} vereinfachen
- 1Gleicher Exponent -3: Basen zusammenfassen
- 2\frac{4^{-3}}{20^{-3}} = \left(\frac{4}{20}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3}
- 3Kehrwert bilden: \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125
Teste dich
Alles auf einen Blick
Potenzen mit negativen Exponenten
Bedeutung
Kehrwert bilden und den Exponenten positiv schreiben
Voraussetzung
Die Basis darf bei negativem Exponenten nicht null sein
Ursprung
Division gleicher Basen mit größerem Nennerexponenten
Potenzgesetze
addieren, subtrahieren und multiplizieren wie gewohnt
Vorzeichen
a^{-n} ist bei positiver Basis positiv
Kontrolle
Bei a > 1 liegt a^{-n} zwischen 0 und 1
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\frac{3^2 \cdot 3^{-6}}{3^{-1}} vereinfachen
- 1Zähler, gleiche Basis: 2 + (-6) = -4, also 3^2 \cdot 3^{-6} = 3^{-4}
- 2Nennerexponent abziehen: -4 - (-1) = -4 + 1 = -3
- 3Also ist \frac{3^2 \cdot 3^{-6}}{3^{-1}} = 3^{-3}.
- 4Kehrwert: 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}
Fehler finden
5 \cdot 10^{-2} als Dezimalzahl schreiben In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Das Minus im Exponenten ist kein Vorzeichen, es verlangt den Kehrwert: 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}. Richtig ist 5 \cdot 10^{-2} = \frac{5}{100} = 0{,}05.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei 3^{-2} bildest du den von 3^2. Das Ergebnis ist . Bei \frac{2^4}{2^{-3}} rechnest du im Exponenten .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback