Mathematik · Klasse 7 · aktualisiert
Koeffizienten erkennen und richtig verwenden
Der Koeffizient ist die Zahl vor der Variablen. Du lernst, ihn samt Vorzeichen zu erkennen und damit gleichartige Terme zusammenzufassen.
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Kurz gesagt
Ein Koeffizient ist der Zahlenfaktor vor einer Variablen oder einem Variablenterm: In 3x ist 3 der Koeffizient von x, in -4y ist es -4. Steht keine Zahl davor, ist der Koeffizient 1, bei -x ist er -1. Gleichartige Terme fasst du zusammen, indem du ihre Koeffizienten addierst: 2x+5x=7x.
Ein Koeffizient ist der Faktor, der zu einer Variablen oder zu einem Variablenterm gehört. In 3x ist also 3 der Koeffizient von x. Hier lernst du, Koeffizienten sicher zu erkennen, von Konstanten und Variablen zu unterscheiden und beim Zusammenfassen gleichartiger Terme zu nutzen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Term wie 5x ist ein Produkt: 5 \cdot x. Die Zahl 5 ist der Faktor, der zur Variablen x gehört. Deshalb heißt sie Koeffizient. Das Vorzeichen gehört zum Koeffizienten. In -4y lautet der Koeffizient daher -4, nicht 4.
Definition
Koeffizient
Ein Koeffizient ist ein Faktor, der einer Variablen oder einem anderen mathematischen Objekt zugeordnet ist. In 9x^2 ist 9 der Koeffizient von x^2.
Beispiel: Im Term 5x^2+3x+7 findest du:
- 15 als Koeffizienten von x^2,
- 23 als Koeffizienten von x,
- 37 als konstanten Term ohne Variable.
- 4Entscheidend ist die Frage: Welcher Faktor multipliziert welchen Variablenterm?
Teste dich
Manchmal wird der Faktor 1 nicht geschrieben. Es gilt x=1 \cdot x. Der Koeffizient von x ist deshalb 1. Auch beim Minuszeichen steckt eine nicht ausgeschriebene Eins im Term: -x=-1 \cdot x. Der Koeffizient von -x ist -1.
Merke: Kein sichtbarer Zahlenfaktor bedeutet nicht „kein Koeffizient“: Bei x ist er 1, bei -x ist er -1.
Beispiel: Im Term 2x^3+x^2-5x+7 sind die Koeffizienten der Variablenterme:
- 12 bei x^3,
- 21 bei x^2,
- 3-5 bei x.
- 4Die 7 ist hier der konstante Term.
Teste dich
Die Begriffe beschreiben verschiedene Rollen in einem Term. Die Variable kann verschiedene Werte annehmen. Der Koeffizient ist der Faktor, der zu ihr gehört. Eine Konstante ist ein fester Term ohne Variable. Ein Parameter steht für auswählbare Werte und wird in einer konkreten Rechnung wie eine feste Zahl behandelt. Ein Zeichen kann zugleich Parameter und Koeffizient sein. In der Funktionsschar f_k(x)=kx^3 multipliziert k den Term x^3 und ist deshalb sein Koeffizient. Zugleich ist k ein Parameter, weil du verschiedene Werte für k wählen kannst.
| Begriff | Rolle | Beispiel |
|---|---|---|
| Variable | kann verschiedene Werte annehmen | x in 3x+7 |
| Koeffizient | Faktor, der zum Variablenteil gehört | 3 in 3x+7 |
| Konstante | fester Term ohne Variable | 7 in 3x+7 |
| Parameter | steht für wählbare Werte, beim Rechnen wie eine feste Zahl | k in f_k(x)=kx^3 |
Merke: „Koeffizient“ und „Parameter“ schließen sich nicht aus. Koeffizient beschreibt die Rolle als Faktor eines Terms, Parameter sagt, dass ein Wert ausgewählt oder verändert werden kann.
Teste dich
Gleichartige Terme besitzen denselben Variablenteil. Bei 2x und 5x ist dieser Teil jeweils x. Deshalb kannst du ihre Koeffizienten addieren. Nicht gleichartige Terme darfst du so nicht zusammenfassen. 2x+5y wird nicht zu 7xy, denn die Variablenteile x und y sind verschieden.
Beispiel: Vereinfache 2x+5x.
- 1Beide Summanden haben denselben Variablenteil x.
- 2Koeffizienten addieren: 2+5=7
- 3Variablenteil beibehalten: 2x+5x=7x
- 4Probe mit x=3: 2 \cdot 3+5 \cdot 3=6+15=21 und 7 \cdot 3=21
Teste dich
Alles auf einen Blick
Koeffizient
Erkennen
Faktor eines Variablenterms
Vorzeichen
gehört zum Koeffizienten
Unsichtbar
1 bei x, -1 bei -x
Abgrenzen
Variable, Konstante, Parameter
Anwenden
gleichartige Terme zusammenfassen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Vereinfache 3x^2+4x-x^2+2x-5
- 1Gleichartig sind 3x^2 und -x^2 sowie 4x und 2x. Die -5 ist die Konstante.
- 2Koeffizienten bei x^2: 3-1=2
- 3Koeffizienten bei x: 4+2=6
- 43x^2+4x-x^2+2x-5=2x^2+6x-5
- 5Probe mit x=1: 3+4-1+2-5=3 und 2+6-5=3
Fehler finden
Vereinfache 5a+3b-2a In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 43a und 3b haben verschiedene Variablenteile und dürfen nicht zusammengefasst werden. Das Ergebnis bleibt 5a+3b-2a=3a+3b.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
In -4x ist der Koeffizient . Steht vor x keine Zahl, ist der Koeffizient . Zusammenfassen darfst du nur Terme mit Variablenteil.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback