Kongruenzsätze: Dreiecke erkennen und konstruieren

A: Bei SWS muss der Winkel zwischen den beiden Seiten liegen. Liegt er einer Seite gegenüber, ist das ein anderer Fall (SsW) mit einer Zusatzbedingung.

B: Drei Winkel legen nur die Form fest, nicht die Größe. Dreiecke mit gleichen Winkeln können verschieden groß sein.

Lösung: Zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnenDas W steht bei SWS zwischen den beiden S: Der bekannte Winkel liegt zwischen den bekannten Seiten.

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B: Der Winkel liegt nicht zwischen den Seiten, sondern der längeren bekannten Seite gegenüber.

C: WSW braucht zwei Winkel. Gegeben sind hier aber zwei Seiten und nur ein Winkel.

Lösung: SsWDie längere bekannte Seite misst 8\,\text{cm}. Weil ihr der bekannte Winkel gegenüberliegt, greift SsW.

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A: Ohne Zuordnung kann die gleich lange Seite in den Dreiecken verschiedenen Winkeln gegenüberliegen.

B: Einen vierten Winkel hat ein Dreieck nicht. Der dritte Winkel folgt schon aus der Winkelsumme; es fehlt nur die Zuordnung der Seite.

Lösung: Es muss bekannt sein, wie die Seite zu den Winkeln gehört.Zwei Winkel legen zwar den dritten Winkel fest. Für Kongruenz muss aber dieselbe Seite den jeweils entsprechenden Winkeln zugeordnet sein.

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B: SWS legt das ganze Dreieck bereits eindeutig fest.

C: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel legen auch die Größe fest. Die Dreiecke sind also kongruent, nicht nur ähnlich.

Lösung: Nach SWS kongruent, also ist auch die dritte Seite gleich lang.Nach dem Kongruenznachweis stimmen auch alle übrigen entsprechenden Seiten und Winkel überein.

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B: Positive Längen allein reichen nicht. Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger als die längste sein.

C: SSS sagt nur, dass drei Seiten ein Dreieck eindeutig festlegen, wenn es existiert. Ob es existiert, zeigt die Dreiecksungleichung.

Lösung: Nein, denn 4+2{,}5 ist nicht größer als 6{,}5.Hier gilt 4\,\text{cm}+2{,}5\,\text{cm}=6{,}5\,\text{cm}. Die geforderte Summe ist nicht größer; ein echtes Dreieck entsteht nicht.

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A: Ein Kreisbogen markiert Punkte mit demselben Abstand zu seinem Mittelpunkt, nicht einen bestimmten Winkel.

C: Die Grundseite zeichnest du vorher mit dem Lineal in der richtigen Länge. Die Bögen dienen nur dazu, den Punkt C zu finden.

Lösung: Jeder Bogen legt den Abstand von C zu A oder zu B fest.C muss gleichzeitig den vorgeschriebenen Abstand zu A und zu B haben. Deshalb liegt C an einem Schnittpunkt der beiden Kreisbögen.

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A: Der Winkel \gamma liegt der Seite c=AB gegenüber und gehört daher zum noch unbekannten Punkt C.

B: Die Seite c ist immer die Strecke AB, nicht AC. Außerdem gehört \beta zur Ecke B, nicht zu A.

Lösung: Berechne \alpha=65^\circ, zeichne AB=c, trage \alpha in A und \beta in B an.Die Seite c=AB liegt dem Winkel \gamma gegenüber. Aus der Winkelsumme folgt \alpha=180^\circ-35^\circ-80^\circ=65^\circ. An den Endpunkten von AB kannst du deshalb \alpha und \beta antragen; ihr Schnittpunkt ist C.

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