Primzahlen erkennen und sicher prüfen

Ein Teiler einer Zahl teilt sie ohne Rest. Die Zahl 5 hat nur die Teiler 1 und 5. Deshalb ist 5 eine Primzahl. Die Zahl 4 hat dagegen die Teiler 1, 2 und 4. Weil sie mehr als zwei Teiler besitzt, ist sie keine Primzahl. Eine natürliche Zahl größer als 1 mit mehr als zwei Teilern heißt zusammengesetzte Zahl. Sie lässt sich als Produkt kleinerer natürlicher Zahlen schreiben, zum Beispiel 21 = 3 · 7. Die Zahl 1 hat nur einen positiven Teiler: 1. „1“ und „die Zahl selbst“ sind hier derselbe Teiler. Deshalb ist 1 keine Primzahl. Auch 0 ist keine Primzahl. Sie besitzt nicht genau zwei positive Teiler: Jede positive natürliche Zahl teilt 0 ohne Rest. Die Zahl 2 erfüllt die Definition. Ihre Teiler sind 1 und 2. Sie ist außerdem die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl hat zusätzlich den Teiler 2.

Beginne mit der Leitfrage: Gibt es außer 1 und der Zahl selbst noch einen Teiler? Suche nach einer Division ohne Rest. Findest du einen zusätzlichen Teiler, ist die Zahl zusammengesetzt. Findest du keinen zusätzlichen Teiler, hat die Zahl nur 1 und sich selbst als Teiler und ist prim. Ein häufiger Fehler ist, nur die Teilbarkeit durch 2, 3 und 5 zu prüfen. Das reicht nicht immer: 49 ist durch keine dieser Zahlen teilbar, aber 49 = 7 · 7. Daher ist 49 zusammengesetzt.

Mit dem Sieb des Eratosthenes findest du alle Primzahlen in einem begrenzten Zahlenbereich. Schreibe die natürlichen Zahlen ab 2 bis zur gewünschten Grenze auf. Markiere die 2 und streiche alle größeren Vielfachen von 2. Markiere die nächste nicht gestrichene Zahl, die 3, und streiche ihre größeren Vielfachen. Fahre mit der jeweils nächsten nicht gestrichenen Zahl fort. Die nicht gestrichenen Zahlen sind die Primzahlen des Bereichs. Bis 30 bleiben übrig: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29. Das Verfahren funktioniert, weil jedes gestrichene Vielfache außer 1 und sich selbst noch mindestens einen weiteren Teiler besitzt.

Zusammengesetzte Zahlen lassen sich vollständig in Primfaktoren zerlegen. Primfaktoren sind Primzahlen, die miteinander multipliziert die Ausgangszahl ergeben. Primfaktorzerlegungen helfen später unter anderem beim Kürzen von Brüchen sowie beim Bestimmen des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.