Mathematik · Klasse 5–6 · aktualisiert
Quersumme berechnen und Teilbarkeit prüfen
Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl. Du lernst, sie zu berechnen und damit die Teilbarkeit durch 3, 6, 9, 15 und 11 zu prüfen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern, bei 159 also 1+5+9=15. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Dasselbe gilt für 9. Für 6 muss die Zahl zusätzlich gerade sein, für 15 auf 0 oder 5 enden.
Die Quersumme einer Dezimalzahl ist die Summe ihrer Ziffern. Bei 159 rechnest du also 1+5+9=15. Mit der Quersumme kannst du außerdem schnell prüfen, ob eine Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist. Für 6 und 15 brauchst du jeweils noch eine zweite Bedingung.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Du addierst jede Ziffer genau einmal. Die Stellenwerte spielen dabei keine Rolle: Aus Zehntausendern, Tausendern oder Einern werden nur die einzelnen Ziffern. Kommt eine Ziffer mehrmals vor, addierst du sie auch mehrmals.
Definition
Quersumme
Die Quersumme oder Ziffernsumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern ihrer Darstellung. Bei einer einstelligen Zahl ist die Quersumme die Zahl selbst.
Beispiel: Quersumme von 48 654
- 14+8+6+5+4=27
- 2Die Ziffer 4 kommt zweimal vor und zählt deshalb zweimal.
- 3Die Quersumme von 48 654 ist 27.
Merke: Nullen gehören zur Zahl, verändern aber die Summe nicht. Deshalb hat 50 204 die Quersumme 5+0+2+0+4=11.
Teste dich
Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Für 9 gilt dieselbe Aussage mit 9. Du musst die große Zahl also nicht zuerst dividieren. Warum funktioniert das? Im Dezimalsystem haben eine Zahl und ihre Quersumme bei der Division durch 9 denselben Rest. Das gilt damit auch für den Teiler 3 von 9. Deshalb liefert die Quersumme für 3 und 9 eine sichere Entscheidung, nicht nur einen Hinweis.
Beispiel: Ist 7 881 durch 3 teilbar?
- 1Quersumme: 7+8+8+1=24
- 224 ist durch 3 teilbar, also auch 7 881.
- 324 ist nicht durch 9 teilbar, also ist 7 881 nicht durch 9 teilbar.
Teste dich
Bei 6 und 15 reicht die Quersumme nicht allein. Du kombinierst zwei bekannte Teilbarkeitsbedingungen.
| Teiler | Bedingung 1 | Bedingung 2 |
|---|---|---|
| 6 | Quersumme ist durch 3 teilbar | Zahl ist gerade, endet also auf 0, 2, 4, 6 oder 8 |
| 15 | Quersumme ist durch 3 teilbar | Zahl endet auf 0 oder 5 |
Beispiel: 7 245 prüfen
- 1Quersumme: 7+2+4+5=18, durch 3 teilbar
- 2Endziffer 5: durch 5 teilbar, also durch 15 teilbar
- 3Die Zahl ist ungerade: trotz passender Quersumme nicht durch 6 teilbar
Merke: Für 6 prüfst du 3 und 2. Für 15 prüfst du 3 und 5. Die Quersumme übernimmt jeweils nur den Test auf Teilbarkeit durch 3.
Teste dich
Für 11 verwendest du nicht die gewöhnliche, sondern die alternierende Quersumme. Du beginnst rechts und addierst und subtrahierst die Ziffern abwechselnd. Du darfst auch links beginnen. Bei einer geraden Anzahl von Ziffern ändert sich dann nur das Vorzeichen des Ergebnisses. Für die Teilbarkeit ist das egal: Ist ein Wert durch 11 teilbar, gilt das auch für seinen negativen Wert.
Definition
Alternierende Quersumme
Die alternierende Quersumme entsteht durch abwechselndes Addieren und Subtrahieren der Ziffern. Ist ihr Ergebnis durch 11 teilbar, dann ist auch die ursprüngliche Zahl durch 11 teilbar.
Beispiel: 2 816 und 2 761 prüfen
- 12 816 von rechts: 6-1+8-2=11
- 211 ist durch 11 teilbar, also auch 2 816.
- 32 761 von rechts: 1-6+7-2=0
- 4Auch 0 ist durch 11 teilbar, also auch 2 761.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Quersumme
Bilden
alle Ziffern addieren, eine einstellige Zahl bleibt gleich
Teiler 3 und 9
Die Quersumme muss durch 3 bzw. 9 teilbar sein
Teiler 6
Quersumme durch 3 teilbar und Zahl gerade
Teiler 15
Quersumme durch 3 teilbar und Endziffer 0 oder 5
Teiler 11
alternierende Quersumme von rechts bilden
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ist 3 564 durch 3, 6, 9 und 11 teilbar?
- 1Quersumme: 3+5+6+4=18
- 218 ist durch 3 und durch 9 teilbar, also auch 3 564.
- 33 564 ist gerade und durch 3 teilbar, also durch 6 teilbar.
- 4Alternierend von rechts: 4-6+5-3=0
- 50 ist durch 11 teilbar, also ist 3 564 durch 11 teilbar.
Fehler finden
Ist 4 371 durch 6 teilbar? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 44 371 ist ungerade, also nicht durch 2 teilbar. Für 6 brauchst du 2 und 3, deshalb ist 4 371 nicht durch 6 teilbar.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Quersumme von 7 305 ist . Bei der einstelligen Zahl 8 lautet die Quersumme . Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch teilbar ist.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback