Mathematik · Klasse 5–6 · aktualisiert
Rechengesetze: Regeln, Beispiele und Übungen
Mit Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz rechnest du geschickter. Du lernst, wann du vertauschen, umklammern und ausmultiplizieren darfst.
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Kurz gesagt
Rechengesetze sagen, wie du einen Term umformen darfst, ohne seinen Wert zu ändern. Das Kommutativgesetz erlaubt Vertauschen (a+b=b+a), das Assoziativgesetz neues Klammern, beide nur bei Plus und Mal. Das Distributivgesetz verteilt einen Faktor: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.
Rechengesetze erlauben dir, passende Zahlen zu vertauschen, neu zu gruppieren oder eine Multiplikation auf eine Klammer zu verteilen. Dadurch werden viele Rechnungen einfacher. Das ist jedoch nur erlaubt, wenn das jeweilige Gesetz zur Rechenart passt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bei einem Term mit mehreren Rechenarten darfst du nicht einfach immer von links nach rechts rechnen. Halte diese Reihenfolge ein: zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Multiplikation und Division, zuletzt Addition und Subtraktion. Rechenarten derselben Stufe rechnest du von links nach rechts.
Merke: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt vor Strich. Erst bei gleicher Rangstufe rechnest du von links nach rechts.
Beispiel: Berechne 3 · (18 − 6) + 12 : 4
- 1Zuerst die Klammer: 18 − 6 = 12
- 2Dann Punktrechnung: 3 · 12 = 36 und 12 : 4 = 3
- 3Zuletzt die Addition: 36 + 3 = 39
Teste dich
Beim Vertauschen von Summanden oder Faktoren bleibt das Ergebnis gleich. So kannst du Zahlen nebeneinanderstellen, die gut zusammenpassen. Für Subtraktion und Division gilt das Vertauschungsgesetz nicht: 5 − 3 und 3 − 5 liefern verschiedene Ergebnisse. Bei negativen Zahlen musst du genau hinsehen: In 4 + (−5) ist −5 ein vollständiger Summand. Beim Vertauschen nimmst du sein Vorzeichen mit: 4 + (−5) = (−5) + 4.
Definition
Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz erlaubt das Vertauschen von Summanden oder Faktoren: a+b=b+a und a\cdot b=b\cdot a
Beispiel: Berechne geschickt 341 + 173 + 59 + 27
- 1Vertauschen und passend zusammenfassen:
- 2(341 + 59) + (173 + 27) = 400 + 200 = 600
Teste dich
Das Assoziativgesetz verändert nur die Klammerung, es vertauscht keine Zahlen. In einer längeren Summe oder einem längeren Produkt kannst du Kommutativ- und Assoziativgesetz gemeinsam einsetzen. Bei Subtraktion und Division darfst du die Klammern nicht versetzen: (12 : 3) : 2 = 2, aber 12 : (3 : 2) = 8.
Definition
Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz, auch Verbindungs- oder Klammergesetz genannt, erlaubt bei einer Folge von Additionen oder Multiplikationen eine andere Gruppierung: (a+b)+c=a+(b+c) und (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)
Beispiel: Zwei Klammerungen, ein Ergebnis
- 1(5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12
- 25 + (3 + 4) = 5 + 7 = 12
Teste dich
Ausmultiplizieren: Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Teil der Klammer multipliziert. Auch ein negativer Faktor wirkt auf jeden Klammerteil: (-2)\cdot(x-y)=-2x+2y. Das zweite Vorzeichen wird positiv, weil dort zwei Minuszeichen zusammentreffen. Geschickt rechnen: Das Distributivgesetz hilft auch ohne Variable. Für 9 · 98 nutzt du 98 = 100 − 2: 9 · 98 = 9 · 100 − 9 · 2 = 900 − 18 = 882. Ausklammern: Rückwärts angewendet heißt das Gesetz Ausklammern oder Faktorisieren. Bei 12x+18 ist 6 ein gemeinsamer Faktor: 12x+18=6\cdot(2x+3). Zur Probe multiplizierst du die Klammer wieder aus.
Definition
Distributivgesetz
Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion: a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c und a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c. Der äußere Faktor wird mit jedem Teil der Klammer multipliziert.
Beispiel: Ausmultiplizieren: 3\cdot(5+x)
- 15+x lässt sich nicht zusammenfassen, also verteilst du die 3.
- 23\cdot(5+x)=3\cdot 5+3\cdot x=15+3x
Teste dich
Alles auf einen Blick
Rechengesetze
Rechenreihenfolge
Klammern, Potenzen, Punkt vor Strich
Kommutativgesetz
vertauscht Summanden oder Faktoren
Assoziativgesetz
gruppiert Additionen oder Multiplikationen neu
Distributivgesetz
verteilt einen Faktor auf Summe oder Differenz
Ausklammern
Distributivgesetz rückwärts, Ausmultiplizieren vorwärts
Geltungsgrenze
Minus und Geteilt sind weder kommutativ noch assoziativ
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Berechne geschickt 25 · 17 · 4
- 1Kommutativgesetz: 25 · 17 · 4 = 25 · 4 · 17
- 2Assoziativgesetz: 25 · 4 · 17 = (25 · 4) · 17
- 3(25 · 4) · 17 = 100 · 17 = 1700
Fehler finden
Berechne 8 · (20 + 7) mit dem Distributivgesetz In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die 8 muss mit jedem Teil der Klammer multipliziert werden: 8 · (20 + 7) = 8 · 20 + 8 · 7 = 160 + 56 = 216.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim vertauschst du Summanden oder Faktoren. Beim Assoziativgesetz setzt du neu. Beim Distributivgesetz wird der Faktor vor der Klammer mit Teil der Klammer multipliziert.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback