Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Parkettierung: Muster lückenlos legen
Eine Parkettierung bedeckt eine Fläche ohne Lücken und ohne Überlappung. Du prüfst Muster, setzt sie fort und begründest mit Winkeln, welche Formen passen.
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Kurz gesagt
Eine Parkettierung ist eine lückenlose und überlappungsfreie Bedeckung einer Fläche mit Kacheln. Jedes Dreieck und jedes Viereck kann parkettieren. Von den regelmäßigen Vielecken schaffen es allein nur gleichseitige Dreiecke, Quadrate und Sechsecke, weil nur ihre Innenwinkel 60°, 90° und 120° genau in 360° passen.
Schau auf einen Fliesenboden, eine Bienenwabe oder einen gepflasterten Weg: Die Steine liegen dicht an dicht, es gibt keine Lücke, und kein Stein liegt auf einem anderen. So ein Muster heißt Parkettierung. Hier lernst du, ein Muster zu prüfen, es fortzusetzen und mit Winkeln zu begründen, welche Formen passen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du legst Fliesen auf einen Boden. Eine Parkettierung erfüllt zwei Bedingungen zugleich: Sie ist lückenlos, jeder Punkt der Fläche ist bedeckt. Und sie ist überlappungsfrei, kein Stück ist doppelt bedeckt. Gemeinsame Kanten und Ecken sind erlaubt, nur die Innenflächen dürfen nicht übereinanderliegen. Sind alle Kacheln gleich groß und gleich geformt, heißt die Parkettierung monohedral. Die Kacheln dürfen dabei gedreht oder gespiegelt sein.
Definition
Parkettierung
Eine Parkettierung ist eine lückenlose und überlappungsfreie Bedeckung der Ebene durch Flächenstücke. Diese Flächenstücke heißen Kacheln oder Parkettsteine.
Beispiel: Ein Boden aus gleich großen Quadraten
- 1Die Quadrate schließen an ihren ganzen Seiten aneinander an.
- 2Lücke? Nein, jede Stelle ist bedeckt.
- 3Überlappung? Nein, kein Quadrat liegt auf einem anderen.
- 4Also ist der Boden eine Parkettierung.
Merke: Ein schönes Muster ist nicht automatisch eine Parkettierung. Prüfe immer: Gibt es eine Lücke? Gibt es eine Überlappung?
Teste dich
Viele Parkettierungen wiederholen sich. Suche die kleinste Gruppe von Steinen, die durch Verschieben immer wieder erscheint. Sie heißt Wiederholeinheit. Beim Fortsetzen kopierst du nicht nur die nächste Farbe, sondern die ganze Gruppe. Lässt sich das ganze Muster in zwei nicht parallelen Richtungen verschieben, sodass es wieder genau auf sich liegt, heißt es periodisch. Ein Quadratgitter ist periodisch: Es wiederholt sich nach rechts und links sowie nach oben und unten. Eine Symmetrie bildet das ganze Parkett so auf sich ab, dass wieder jede Kachel genau auf einer Kachel liegt. Achte dabei auf das ganze Muster: Eine einzelne Kachel kann symmetrisch sein, obwohl das Parkett mit seinen Farben es nicht ist.
Beispiel: Eine Reihe aus blauen und gelben Quadraten
- 1Blau – Gelb – Gelb | Blau – Gelb – Gelb | …
- 2Wiederholeinheit: ein blaues, dann zwei gelbe Quadrate
- 3Nach dem letzten gelben Quadrat kommt wieder ein blaues.
| Symmetrie | Was passiert mit dem Muster? |
|---|---|
| Verschiebung | Es wird in eine Richtung versetzt. |
| Drehung | Es wird um einen Punkt gedreht, beim Quadratgitter zum Beispiel um 90°. |
| Achsenspiegelung | Es wird an einer Geraden gespiegelt. |
| Gleitspiegelung | Es wird gespiegelt und entlang der Spiegelachse verschoben. |
Teste dich
Jedes Dreieck kann die Ebene parkettieren, nicht nur ein gleichseitiges. Drehst du eine Kopie um 180° um die Mitte einer Seite, bilden beide Dreiecke zusammen ein Parallelogramm. Parallelogramme lassen sich zu Streifen legen und die Streifen lückenlos übereinander. Auch jedes Viereck kann parkettieren, sogar eines mit einer nach innen gerichteten Ecke. Legst du passend gedrehte Kopien an, treffen an einem Knoten alle vier Innenwinkel zusammen. Sie ergeben in jedem Viereck zusammen 360° und füllen den Vollwinkel um den Knoten genau aus.
Definition
Knoten
Ein Knoten ist ein Punkt, an dem Ecken mehrerer Kacheln zusammentreffen.
Beispiel: Ein schiefes Dreieck parkettieren
- 1Drehe eine Kopie des Dreiecks um 180° um die Mitte einer Seite.
- 2Beide Dreiecke bilden zusammen ein Parallelogramm.
- 3Verschobene Kopien des Parallelogramms schließen aneinander an.
- 4Es entstehen weder Lücken noch Überlappungen.
Merke: Dreieck und Viereck müssen nicht regelmäßig sein: Jedes Dreieck und jedes Viereck kann parkettieren.
Teste dich
Ein regelmäßiges Vieleck hat gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel. Liegen nur Vielecke einer Sorte Kante an Kante, müssen ihre Winkel an jedem Knoten genau 360° ergeben. Für den Innenwinkel eines regelmäßigen n-Ecks gilt \alpha_n=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}, wobei n die Anzahl der Ecken ist. So findest du genau drei regelmäßige Parkettierungen. Das regelmäßige Fünfeck hat 108°, und 360° : 108° ist keine ganze Zahl: Fünfecke allein lassen immer eine Lücke oder überlappen. Treffen verschiedene Vielecke an einem Knoten zusammen, sind 360° nötig. Das beweist aber noch nicht, dass sich das Muster über die ganze Ebene fortsetzen lässt: Auch die Nachbarknoten müssen passen.
Beispiel: Das regelmäßige Sechseck
- 1\alpha_6=180^\circ-\frac{360^\circ}{6}=120^\circ
- 23 · 120° = 360°
- 3Drei Sechsecke füllen einen Knoten genau: das Wabenmuster.
| Vieleck | Innenwinkel | am Knoten |
|---|---|---|
| gleichseitiges Dreieck | 60° | 6 · 60° = 360° |
| Quadrat | 90° | 4 · 90° = 360° |
| regelmäßiges Sechseck | 120° | 3 · 120° = 360° |
Merke: Prüfe am Knoten zuerst die Winkelsumme. 360° ist nötig, bei gemischten Vielecken aber nicht immer ausreichend.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Parkettierung
Bedingungen
lückenlos und überlappungsfrei
Muster
Wiederholeinheit finden und als Ganzes fortsetzen
Sichere Formen
jedes Dreieck und jedes Viereck
Regelmäßige Formen
nur Dreieck, Quadrat und Sechseck allein
Winkelprobe
die Winkel am Knoten ergeben 360°
Symmetrien
Verschiebung, Drehung, Spiegelung und Gleitspiegelung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Parkettiert das regelmäßige Achteck allein?
- 1Innenwinkel: \alpha_8=180^\circ-\frac{360^\circ}{8}=135^\circ
- 2360° : 135° ≈ 2,67, das ist keine ganze Zahl.
- 3Zwei Achtecke: 2 · 135° = 270°, es fehlen 360° − 270° = 90°.
- 4Allein parkettieren Achtecke also nicht.
- 5Die Lücke von 90° füllt genau ein Quadrat: So entsteht das bekannte Muster aus Achtecken und Quadraten.
Fehler finden
Parkettiert das regelmäßige Fünfeck allein? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 272° ist nicht der Innenwinkel. Richtig ist \alpha_5=180^\circ-\frac{360^\circ}{5}=108^\circ. Weil 360° : 108° ≈ 3,33 keine ganze Zahl ist, parkettiert das Fünfeck allein nicht.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Parkettierung bedeckt eine Fläche . Ihre Kacheln dürfen sich an den berühren. Die kleinste wiederkehrende Gruppe von Steinen heißt .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback