Proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Eine Zuordnung verbindet Werte zweier Größen, zum Beispiel die Anzahl der Flaschen und den Preis. Kostet jede Flasche 0,50 €, kosten doppelt so viele Flaschen doppelt so viel: proportional. Trägt eine Person 18 Wasserkästen in 18 Minuten, brauchen zwei gleich schnelle Personen im Modell nur 9 Minuten: antiproportional. „Je mehr, desto mehr“ und „je mehr, desto weniger“ sind erste Hinweise, aber noch kein Beweis. Prüfe, ob der Quotient oder das Produkt gleich bleibt. Manche Zusammenhänge sind weder proportional noch antiproportional: Wer an einem Tag drei Fische fängt, fängt nicht an jedem weiteren Tag wieder genau drei.

Bei einer proportionalen Zuordnung kannst du zuerst den Wert für eine Einheit bestimmen. Danach berechnest du den gesuchten Zielwert. Dieses Verfahren heißt Dreisatz. Du kannst auch direkt mit einem bekannten Faktor rechnen. Werden aus 7 Flaschen 14 Flaschen, wird die Anzahl mit 2 multipliziert. Deshalb wird auch der Preis mit 2 multipliziert: Aus 3,50 € werden 7,00 €. Rechne dabei mit Faktoren, nicht mit Plus und Minus: Sind 3 € so viel wert wie 2,70 £, dann ist 1 € 2{,}70\,£ : 3 = 0{,}90\,£ wert, und 2 € sind 2\cdot0{,}90\,£=1{,}80\,£.

Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt ein Produkt konstant. Du kannst dieses Produkt als Gesamtwert bestimmen und anschließend durch den neuen Wert teilen. Der Dreisatz kann auch über eine Einheit führen: Von 5 Arbeitern zu 1 Arbeiter wird die Arbeiterzahl durch 5 geteilt. Die Zeit wird deshalb mit 5 multipliziert: Ein Arbeiter benötigt 25 Stunden. Von 1 Arbeiter zu 10 Arbeitern wird die Arbeiterzahl mit 10 multipliziert. Die Zeit wird deshalb durch 10 geteilt: 10 Arbeiter benötigen 2,5 Stunden. Das Modell gilt nur, wenn die Gesamtarbeit fest ist, alle gleich schnell arbeiten und die Arbeit sinnvoll aufgeteilt werden kann. Zehn Personen erledigen nicht automatisch jede Aufgabe doppelt so schnell wie fünf Personen. Rechne dabei nie gleichsinnig: Fährst du dieselbe Strecke mit 120 km/h statt mit 60 km/h, halbiert sich die Zeit. Aus 6 Stunden werden 3 Stunden, nicht 12.

Zuordnungen lassen sich auf verschiedene Arten darstellen. Alle Darstellungen müssen dieselbe Beziehung zeigen. Proportionale Darstellung: Für einen festen Wert k pro Einheit gilt: y = k \cdot x In einer Wertetabelle ist der Quotient y:x bei allen zulässigen Wertepaaren gleich. Bei 3 € pro Donut gilt beispielsweise y=3x. Die Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung (0,0). Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung verläuft, stellt keine proportionale Zuordnung dar. Antiproportionale Darstellung: Für ein konstantes Produkt k gilt: y = \frac{k}{x} In einer Wertetabelle besitzen alle Wertepaare dasselbe Produkt x\cdot y. Bei 18 gleichmäßig verteilten Pizzastücken gilt beispielsweise y=18:x. Der Graph ist eine Hyperbel. Für x=0 ist die Formel nicht definiert, denn durch null darfst du nicht teilen.