Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Prozentrechner: Formeln, Beispiele und Übungen
Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz: Du erkennst, welche Größe fehlt, und berechnest sie mit Formel oder Dreisatz, auch bei Rabatten.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Prozentrechner findet die fehlende von drei Größen: den Grundwert G (das Ganze, 100 %), den Prozentwert W (der Teil) und den Prozentsatz p\,\%. Es gilt W=G\cdot\frac{p}{100}. Beispiel: 15 % von 240 € sind 36 €.
Mit einem Prozentrechner findest du die fehlende Größe, sobald zwei Größen bekannt sind: das Ganze, den Anteil oder den Prozentsatz. Entscheidend ist zuerst die Frage: Was sind 100 %?
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Prozent bedeutet „von hundert“. Deshalb sind 25\,\%=\frac{25}{100}=0{,}25. Das Ganze entspricht immer 100 %. Achte in Textaufgaben auf die Rollen der Zahlen: „15 % von 240 €“: 240 € sind das Ganze, also G. „36 von 240 Personen“: 36 ist der Teil W, 240 ist das Ganze G. „42 € sind 6 % eines Betrags“: 42 € sind W, 6 % sind der Prozentsatz; gesucht ist G.
Definition
Grundwert G
Der Grundwert ist das Ganze, auf das sich die Prozentangabe bezieht. Er entspricht 100 %.
Definition
Prozentwert W
Der Prozentwert ist der konkrete Teil des Ganzen. Grundwert und Prozentwert haben dieselbe Einheit, zum Beispiel Euro oder Personen.
Definition
Prozentsatz p %
Der Prozentsatz beschreibt, wie groß der Teil im Verhältnis zum Ganzen ist. In 25\,\% ist 25 die Prozentzahl p; als Dezimalzahl lautet der Prozentsatz 0{,}25.
Teste dich
Schreibe zuerst auf, was gegeben und was gesucht ist. Frag dich: Kenne ich das Ganze, den Teil oder den Prozentsatz? Dann brauchst du nur eine der drei Beziehungen. Prozentwert berechnen: Gesucht ist der Teil: W=G\cdot\frac{p}{100} Prozentsatz berechnen: Gesucht ist der relative Anteil: p=\frac{W}{G}\cdot100 Grundwert berechnen: Gesucht ist das Ganze: G=\frac{W\cdot100}{p} Der Dreisatz zeigt, warum die Formeln funktionieren: Du gehst von den bekannten Prozent zuerst zu 1 % und dann zum gesuchten Wert. Für 15 % von 240 heißt das: 1 % entspricht 240 : 100 = 2,4, also entsprechen 15 % genau 2,4 · 15 = 36.
Beispiel: 15 % von 240 € berechnen
- 1Gegeben: G=240\,€ und p=15. Gesucht: W.
- 2W=240\,€\cdot\frac{15}{100}=240\,€\cdot0{,}15=36\,€
- 315 % von 240 € sind 36 €.
Beispiel: Wie viel Prozent sind 36 von 240 Personen?
- 1Gegeben: W=36 Personen und G=240 Personen. Gesucht: p.
- 2p=\frac{36}{240}\cdot100=15
- 336 von 240 Personen sind 15 %.
Beispiel: 42 € sind 6 % eines Guthabens
- 1Gegeben: W=42\,€ und p=6. Gesucht: G.
- 2Mit der Formel: G=\frac{42\,€\cdot100}{6}=700\,€
- 3Mit dem Dreisatz: 6 % entsprechen 42 €.
- 41 % entspricht 42 € : 6 = 7 €.
- 5100 % entsprechen 7 € · 100 = 700 €.
- 6Das gesamte Guthaben beträgt 700 €.
Teste dich
Bei einer Änderung ist der Ausgangswert die Bezugsgröße und entspricht 100 %. Eine Abnahme um 20 % lässt 80 % übrig; eine Zunahme um 20 % führt zu 120 %. Für den Endwert gilt: \text{Endwert}=\text{Ausgangswert}\cdot\left(1\pm\frac{p}{100}\right) Wenn Anfangs- und Endwert bekannt sind, beziehst du die Differenz auf den Anfangswert: \text{Veränderung in Prozent}=\frac{\text{Endwert}-\text{Ausgangswert}}{\text{Ausgangswert}}\cdot100\,\% Von 100 € auf 120 € beträgt die Veränderung \frac{120\,€-100\,€}{100\,€}\cdot100\,\%=20\,\%. Ist nach einer Erhöhung nur der Endwert bekannt, teilst du durch den Gesamtfaktor. Kostet ein Produkt nach 20 % Erhöhung 84 €, dann war der Ausgangspreis 84\,€:1{,}2=70\,€.
Beispiel: Ein Artikel für 80 € wird um 20 % reduziert
- 1Nach dem Rabatt bleiben 100\,\%-20\,\%=80\,\%. Der Faktor ist 0{,}8.
- 280\,€\cdot0{,}8=64\,€
- 3Der neue Preis beträgt 64 €.
Teste dich
Die Bezugsgröße entscheidet: 200 sind 400 % von 50, aber 300 % mehr als 50. Die ursprünglichen 50 entsprechen bereits 100 % und werden bei der Veränderung abgezogen. Umgekehrt sind 50 nur 25 % von 200 und damit 75 % weniger als 200. Die beiden Richtungen liefern verschiedene Veränderungen, weil die Bezugsgröße wechselt. Mehrere Rabatte werden nacheinander angewandt: 20 % und danach 10 % Rabatt lassen 0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72 des Ausgangspreises übrig. Das sind 72 %; der Gesamtrabatt beträgt 28 %, nicht 30 %. Prozent und Prozentpunkte sind verschieden: Die Differenz zweier Prozentsätze misst du in Prozentpunkten, die relative Änderung in Prozent.
Beispiel: Ein Anteil steigt von 2 % auf 3 %
- 1Differenz: 3 % − 2 % = 1 Prozentpunkt
- 2Relative Änderung: \frac{3-2}{2}\cdot100\,\%=50\,\%
- 3Der Anteil ist um 1 Prozentpunkt gestiegen, das sind 50 % mehr als vorher.
Merke: Prüfe bei jeder Prozentangabe: Worauf bezieht sie sich? Wechselt die Bezugsgröße, ändert sich auch der Prozentsatz.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Prozentrechner
Größen erkennen
Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz
Grundaufgaben
Teil, Anteil oder Ganzes berechnen
Dreisatz
über 1 % zum gesuchten Wert
Veränderungen
Ausgangswert als Bezugsgröße
Rückrechnung
durch den Gesamtfaktor teilen
Prüfung
Einheit, Bezugsgröße und Plausibilität
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Handy kostet nach 25 % Rabatt noch 360 €. Wie teuer war es vorher?
- 1Gesucht ist der alte Preis. Er entspricht 100 %.
- 2Nach dem Rabatt bleiben 100 % − 25 % = 75 %.
- 375 % entsprechen 360 €, also entspricht 1 % dem Betrag 360 € : 75 = 4,80 €.
- 4100 % entsprechen 4,80 € · 100 = 480 €.
- 5Probe: 25 % von 480 € sind 120 €, und 480 € − 120 € = 360 €.
Fehler finden
Eine Jacke kostet 150 €. Es gibt 20 % Rabatt und an der Kasse noch einmal 10 %. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die zweiten 10 % beziehen sich auf den schon reduzierten Preis, deshalb darfst du die Rabatte nicht addieren. Richtig ist der Gesamtfaktor 0,8 · 0,9 = 0,72, also 150 € · 0,72 = 108 €.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei 15 % von 240 gilt: 100 % entsprechen . Ein Prozent entspricht . Deshalb entsprechen 15 % dem Wert .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback