Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Konstruieren mit Zirkel und Lineal einfach erklärt
Beim Konstruieren zeichnest du nur mit Zirkel und Lineal, ohne zu messen. Du lernst die Mittelsenkrechte und den Kreis durch drei Punkte.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Konstruieren mit Zirkel und Lineal heißt: Figuren exakt nach festen Regeln zeichnen, ohne zu messen. Das Lineal zeichnet nur Geraden, der Zirkel Kreise und überträgt Längen. Wichtigster Baustein ist die Mittelsenkrechte: zwei gleich große Kreise um die Endpunkte, dann die Gerade durch ihre Schnittpunkte.
Beim Konstruieren erzeugst du geometrische Figuren nach festen Regeln. Der Zirkel zeichnet Kreise und überträgt Längen. Das unmarkierte Lineal zeichnet Geraden, misst aber keine Strecken. Du lernst hier, eine Mittelsenkrechte als Grundbaustein zu konstruieren, damit einen Kreis durch drei Punkte zu zeichnen und die Konstruktion zu begründen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bei einer klassischen Konstruktion verwendest du ein unmarkiertes Lineal. Eine aufgedruckte Skala darfst du nicht zum Messen benutzen. Die mathematische Konstruktion ist exakt. Deine Zeichnung auf Papier bleibt aber eine möglichst sorgfältige Annäherung an diese ideale Konstruktion.
| Werkzeug | Erlaubt |
|---|---|
| Lineal | eine Gerade durch zwei Punkte zeichnen, zwei Punkte zu einer Strecke verbinden |
| Zirkel | einen Kreis um einen Mittelpunkt durch einen zweiten Punkt zeichnen |
| Zirkel | eine vorhandene Länge abgreifen und an anderer Stelle abtragen |
| beide | Schnittpunkte von Geraden, Strecken und Kreislinien markieren |
Definition
Grundkonstruktion
Eine Grundkonstruktion ist eine kurze, häufig benötigte Schrittfolge. Du kannst sie später wie einen fertigen Baustein in umfangreicheren Konstruktionen verwenden.
Teste dich
Die Mittelsenkrechte einer Strecke steht senkrecht auf der Strecke und verläuft durch deren Mittelpunkt. Jeder Punkt auf ihr hat zu beiden Endpunkten den gleichen Abstand.
Beispiel: Mittelsenkrechte der Strecke AB
- 1Zirkel in A einstechen, Kreis durch B zeichnen.
- 2Zirkelöffnung beibehalten, Kreis um B durch A zeichnen.
- 3Die beiden Schnittpunkte der Kreise heißen C und D.
- 4Gerade durch C und D zeichnen: Das ist die Mittelsenkrechte.
- 5Ihr Schnittpunkt mit AB ist der Mittelpunkt M.
- 6Begründung: C liegt auf beiden Kreisen, also CA=CB. Ebenso gilt DA=DB.
Merke: Gleicher Radius um beide Endpunkte erzeugt zwei Punkte mit gleichem Abstand zu den Endpunkten. Ihre Verbindungsgerade ist die Mittelsenkrechte.
Teste dich
Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, verläuft genau ein Kreis. Sein Mittelpunkt muss von allen drei Punkten gleich weit entfernt sein. Liegen A, B und C auf einer Geraden, schneiden sich die benötigten Mittelsenkrechten nicht. Dann gibt es keinen Kreis durch alle drei Punkte. Die Bedingung „nicht auf einer Geraden“ ist daher notwendig.
Beispiel: Kreis durch A, B und C
- 1Zeichne die Strecken AB und BC.
- 2Konstruiere die Mittelsenkrechten von AB und von BC.
- 3Ihr Schnittpunkt heißt F.
- 4Zeichne den Kreis um F durch A.
- 5Richtigkeit: FA=FB und FB=FC, also FA=FB=FC. Der Kreis geht auch durch B und C.
Teste dich
Eine fertige Zeichnung zeigt nicht, in welcher Reihenfolge sie entstanden ist. Eine vollständige Lösung hält deshalb den Weg fest: die Ausgangslage (was ist gegeben?), das Ziel (welche Eigenschaften muss das Ergebnis haben?), die Konstruktionsbeschreibung (welche erlaubten Schritte in welcher Reihenfolge?) und die Prüfung (ist jeder Schritt ausführbar, und warum stimmt das Ergebnis?). Nicht jede Aufgabe ist lösbar. Nicht allgemein möglich sind zum Beispiel die Dreiteilung eines beliebigen Winkels, die Verdopplung eines Würfelvolumens und ein flächengleiches Quadrat zu einem gegebenen Kreis. Die Würfelverdopplung führt auf x^3=2, also auf die Kubikwurzel aus 2. Diese Länge entsteht nicht aus Grundrechenarten und Quadratwurzeln. Bei regelmäßigen Vielecken hängt es von der Eckenzahl ab: Das regelmäßige 17-Eck ist zum Beispiel konstruierbar.
Definition
Nicht konstruierbar
Nicht konstruierbar bedeutet hier: Unter den klassischen Regeln ist keine endliche, exakte Konstruktion mit Zirkel und unmarkiertem Lineal möglich. Mit zusätzlichen Werkzeugen oder als Näherung kann eine Aufgabe trotzdem lösbar sein.
Merke: Eine Konstruktion ist erst vollständig, wenn du begründest, warum jeder Schritt ausführbar ist und das Ergebnis stimmt. Eine Zeichnung, die passend aussieht, reicht nicht.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Konstruieren mit Zirkel und Lineal
Werkzeugregeln
Geraden zeichnen, Kreise zeichnen, Längen übertragen, Schnittpunkte markieren
Grundbaustein
Mittelsenkrechte durch zwei gleich große Kreise
Anwendung
Kreis durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte
Prüfung
Bedingungen, Durchführbarkeit und Richtigkeit begründen
Grenze
Nicht jede geometrische Aufgabe ist unter den klassischen Regeln exakt lösbar
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wo liegt der Spielplatz, der von drei Häusern gleich weit entfernt ist?
- 1Die Häuser sind die Punkte A, B und C. Sie liegen nicht auf einer Geraden.
- 2Gleicher Abstand zu A und B: Konstruiere die Mittelsenkrechte von AB.
- 3Gleicher Abstand zu B und C: Konstruiere die Mittelsenkrechte von BC.
- 4Der Schnittpunkt F der beiden Mittelsenkrechten ist der gesuchte Platz.
- 5Probe: Zirkel in F einstechen und auf A öffnen. Der Kreis geht auch durch B und C.
Fehler finden
Mittelsenkrechte einer 6 cm langen Strecke AB In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Zirkelöffnung muss gleich bleiben. Richtig ist: Zirkel in B einstechen und ebenfalls einen Kreis mit Radius 4 cm zeichnen. Nur dann sind die Schnittpunkte von A und B gleich weit entfernt.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die beiden Kreise haben die Endpunkte A und B als . Ihre Zirkelöffnung bleibt . Die Gerade durch die beiden Kreisschnittpunkte steht auf AB.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback