Mathematik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Exponentielle Abnahme verstehen und modellieren
Bei exponentieller Abnahme schrumpft ein Bestand immer um denselben Prozentsatz. Du lernst Modell, Halbwertszeit und seine Grenzen kennen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Exponentielle Abnahme bedeutet: Ein Bestand wird in gleich langen Zeitschritten immer mit demselben Faktor q zwischen 0 und 1 multipliziert. Das Modell lautet B(t)=B_0\cdot q^t mit q=1-\frac{p}{100}. Beispiel: Bei 20 % Abnahme pro Tag ist q=0{,}8.
Ein Medikament im Blut, der Wert eines Handys, ein abkühlender Tee: Vieles wird mit der Zeit weniger, aber nicht gleichmäßig. Bei einer exponentiellen Abnahme wird ein Bestand in gleich langen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor zwischen 0 und 1 multipliziert. Deshalb bleibt die prozentuale Abnahme gleich, während der absolute Verlust immer kleiner wird. Hier lernst du, das Modell aufzustellen, seine Parameter zu bestimmen und seine Grenzen zu beurteilen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir einen Stoff vor, von dem täglich 20 % der jeweils vorhandenen Menge verschwinden. Nach jedem Tag bleiben 80 % übrig, also der Anteil 0,8. Nicht immer dieselbe Menge, sondern immer derselbe Anteil geht verloren. Rekursiv berechnest du jeden neuen Wert aus dem vorherigen: B(t+1)=B(t)\cdot q. In einer Wertetabelle erkennst du das Modell deshalb am konstanten Quotienten \frac{B(t+1)}{B(t)}=q. Für die Werte 200, 160, 128 und 102,4 ist jeder Quotient 0,8. Die Differenzen sind dagegen nicht gleich. Das ist exponentielle, nicht lineare Abnahme.
Definition
Exponentielle Abnahme
Eine Größe nimmt exponentiell ab, wenn sie in gleich großen Schritten stets mit demselben Abnahmefaktor q multipliziert wird. Es gilt 0<q<1.
| Schritt | Bestand | Differenz | Quotient |
|---|---|---|---|
| 0 | 200 | – | – |
| 1 | 160 | −40 | 0,8 |
| 2 | 128 | −32 | 0,8 |
| 3 | 102,4 | −25,6 | 0,8 |
Merke: Linear: gleiche Differenz. Exponentiell: gleicher Quotient beziehungsweise gleicher Prozentanteil.
Teste dich
Mit dem Anfangsbestand B_0=B(0) und dem Faktor q berechnest du jeden späteren Wert direkt: B(t)=B_0\cdot q^t,\qquad 0<q<1 Bei einer Abnahme um p % pro Zeitschritt gilt q=1-\frac{p}{100}. Die Einheit von t muss zum Faktor passen. Bedeutet q=0{,}88 „pro Tag“, dann misst du t in Tagen. Im schrittweisen Modell sind zunächst t=0,1,2,\ldots sinnvoll.
Beispiel: 80 g Stoff, 12 % Abnahme pro Tag
- 1Anfangswert: B_0=80 g
- 2Restfaktor: q=1-0{,}12=0{,}88
- 3Modell: B(t)=80\cdot0{,}88^t mit t in Tagen
- 4Nach 5 Tagen: B(5)=80\cdot0{,}88^5\approx42{,}22 g
- 5Plausibel: kleiner als 80 g und größer als 0 g
Merke: Abnahme um 12 % heißt Abnahme auf 88 %. Der Faktor ist der Anteil, der übrig bleibt. Wer mit 80\cdot0{,}12^t rechnet, tut so, als blieben täglich nur 12 % übrig.
Teste dich
Die Halbwertszeit T_{1/2} ist die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte eines Bestands da ist. Bei einem idealen Exponentialmodell ist sie immer gleich lang: erst von 100 % auf 50 %, dann von 50 % auf 25 %. Aus q^{T_{1/2}}=\frac{1}{2} folgt T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(q)} Da bei 0<q<1 beide Logarithmen negativ sind, ist die Halbwertszeit positiv. Im kontinuierlichen Modell schreibt man häufig B(t)=B_0\cdot e^{kt} mit k<0. Beide Formen sind gleichwertig, wenn ein Zeitschritt dieselbe Einheit hat: q=e^k und k=\ln(q). Dann gilt auch T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{k}. Kennst du zwei Messwerte B(t_1) und B(t_2), erhältst du die Parameter aus q=\left(\frac{B(t_2)}{B(t_1)}\right)^{1/(t_2-t_1)} \quad\text{und}\quad k=\frac{\ln\left(B(t_2)/B(t_1)\right)}{t_2-t_1} Zwei Punkte liefern ein Modell, beweisen aber noch nicht, dass der Prozess wirklich exponentiell verläuft. Weitere Daten müssen das Muster bestätigen.
Beispiel: Faktor, k und Halbwertszeit
- 1q=0{,}8 pro Tag
- 2k=\ln(0{,}8)\approx-0{,}2231 pro Tag
- 3B_0\cdot0{,}8^t und B_0\cdot e^{-0{,}2231t} beschreiben bis auf Rundung denselben Prozess
- 4T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(0{,}8)}\approx3{,}11 Tage
Beispiel: Parameter aus zwei Messwerten
- 1B(0)=120 mg und B(4)=75 mg, t in Tagen
- 2q=\left(\frac{75}{120}\right)^{1/4}=\left(\frac{5}{8}\right)^{1/4}\approx0{,}889
- 3Pro Tag bleiben etwa 88,9 % übrig, die Abnahme beträgt etwa 11,1 %.
- 4k=\frac{\ln(75/120)}{4}\approx-0{,}1175 pro Tag
- 5Modell: B(t)=120\cdot e^{-0{,}1175t}, Halbwertszeit etwa 5,90 Tage
Teste dich
Ein mathematisches Modell ist eine begründete Vereinfachung. Prüfe deshalb nicht nur die Rechnung, sondern auch die Voraussetzungen. Nur bei gleich großen Zeitabständen darfst du benachbarte Quotienten direkt vergleichen. Der relative Rückgang muss konstant sein: Die Quotienten sind gleich oder bei Messdaten ungefähr gleich. Der Definitionsbereich muss passen: Meist gilt t\ge0, ein schrittweises Modell nutzt ganze Zeitschritte, ein kontinuierliches erlaubt reelle Zeiten. Bei B_0>0 bleibt B(t)>0: Das reine Modell nähert sich der Null, erreicht sie aber nie. Und es gibt sachliche Grenzen: Faktoren können sich ändern, Messwerte streuen, und eine Größe kann sich statt der Null einem anderen Endwert nähern. Kühlt ein Getränk in einem Raum ab, nähert sich seine Temperatur der Raumtemperatur, nicht 0 °C. Dann modellierst du die Temperaturdifferenz zur Umgebung.
Merke: Nähert sich eine Größe einem festen Endwert S, nimmt die Differenz B(t)-S exponentiell ab. Das Modell lautet dann B(t)=S+(B_0-S)\cdot e^{kt} mit k<0. Für S=0 entsteht das reine Zerfallsmodell.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Exponentielle Abnahme
Erkennen
gleicher Quotient, gleiche prozentuale Abnahme
Modellieren
B(t)=B_0q^t mit 0<q<1 und q=1-\frac{p}{100}
Umformen
q=e^k und k=\ln(q), bei Abnahme ist k<0
Halbwertszeit
T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(q)}, immer gleich lang
Prüfen
Einheiten, Definitionsbereich, Endwert und konstante Rate
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wertverlust eines Autos
- 1Ein Auto kostet 24.000 € und verliert jährlich 15 % an Wert.
- 2Faktor: q=1-0{,}15=0{,}85
- 3Modell: B(t)=24.000\cdot0{,}85^t mit t in Jahren
- 4Nach 4 Jahren: B(4)=24.000\cdot0{,}85^4=12.528{,}15 €
- 5Halbwertszeit: T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(0{,}85)}\approx4{,}27 Jahre
Fehler finden
Ein Fahrrad kostet 800 € und verliert jährlich 10 % an Wert. Was ist es nach 2 Jahren wert? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 20,1 ist der Anteil, der verloren geht. Der Faktor ist der Rest: q=1-0{,}1=0{,}9. Richtig ist B(2)=800\cdot0{,}9^2=648 €.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einer Abnahme um 20 % pro Tag ist der Faktor . In einer Wertetabelle bleibt bei exponentieller Abnahme der benachbarter Werte gleich. Nach einer Halbwertszeit ist noch des Bestands vorhanden.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback