Mittelsenkrechte konstruieren und verstehen

Stell dir eine Strecke mit den Endpunkten A und B vor. Ihre Mittelsenkrechte erfüllt zwei Bedingungen gleichzeitig: Sie geht durch den Mittelpunkt der Strecke \overline{AB} und halbiert sie dadurch. Und sie steht im Winkel von 90° auf der Strecke. Der Name hilft beim Erinnern: Mittel steht für den Mittelpunkt, senkrecht für den rechten Winkel. Eine Gerade hat keine Endpunkte und daher keine Mitte. Deshalb gehört eine Mittelsenkrechte immer zu einer Strecke.

Für die Konstruktion brauchst du die Länge der Strecke nicht auszurechnen. Die beiden Endpunkte sind die Mittelpunkte gleich großer Kreisbögen. Stelle den Zirkel auf einen Radius ein, der größer als die Hälfte von \overline{AB} ist. Stich in A ein und zeichne einen Bogen oberhalb und unterhalb der Strecke. Verändere die Zirkelspanne nicht, stich in B ein und zeichne zwei Bögen, die die ersten schneiden. Markiere die beiden Schnittpunkte C und D und ziehe mit dem Lineal die Gerade durch sie. Das ist die Mittelsenkrechte.

Jeder Bogenschnittpunkt wurde mit demselben Radius von A und von B aus gezeichnet. Für den oberen Schnittpunkt C gilt deshalb CA = CB, für den unteren Schnittpunkt D ebenso DA = DB. Alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Mittelsenkrechten. Darum ist die Gerade durch C und D genau die gesuchte Gerade. Die Mittelsenkrechte teilt die Ebene außerdem in zwei Bereiche. Auf der Seite von A liegen die Punkte näher an A, auf der Seite von B näher an B. Nur genau auf der Mittelsenkrechten sind beide Abstände gleich.

Ein Dreieck hat drei Seiten, und zu jeder Seite gibt es eine Mittelsenkrechte. Die drei Mittelsenkrechten treffen sich in einem Punkt M. Weil M auf der Mittelsenkrechten von \overline{AB} liegt, gilt MA = MB. Weil M auch auf der Mittelsenkrechten von \overline{BC} liegt, gilt MB = MC. Damit ist MA = MB = MC: M ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt. Ein Kreis um M mit dem Radius MA geht also auch durch B und C. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks. Wo M liegt, hängt vom Dreieck ab: Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt M innen, bei einem rechtwinkligen in der Mitte der längsten Seite und bei einem stumpfwinkligen außerhalb. Auch bei einer Achsenspiegelung hilft die Mittelsenkrechte: Die Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt.