Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Dreisatz: proportional und antiproportional rechnen
Mit dem Dreisatz berechnest du einen fehlenden Wert aus zusammengehörigen Werten. Du lernst proportional und antiproportional zu rechnen und zu prüfen.
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Kurz gesagt
Der Dreisatz ist ein Rechenweg in drei Schritten: von der bekannten Zuordnung auf einen Zwischenwert, meist 1, und von dort auf den gesuchten Wert. Proportional rechnest du auf beiden Seiten gleich: 3 Kugeln ≙ 5,40 €, 1 Kugel ≙ 1,80 €, 7 Kugeln ≙ 12,60 €. Antiproportional kehrst du die Rechnung um.
Beim Einkaufen, beim Kochen für mehr Gäste oder bei einer Gruppenarbeit suchst du oft einen Wert, der zu anderen passt. Mit dem Dreisatz berechnest du aus bekannten zusammengehörigen Werten einen fehlenden Wert. Vor dem Rechnen musst du entscheiden: Ist der Zusammenhang proportional, antiproportional oder keines von beiden?
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Zwei Größen bilden eine Zuordnung, wenn Werte der einen Größe zu Werten der anderen gehören. Beim Dreisatz kommen vor allem zwei Arten vor. Die Faustregeln „mehr – mehr“ und „mehr – weniger“ sind erste Hinweise. Entscheidend ist aber, ob der Quotient oder das Produkt wirklich gleich bleibt. Bleibt keins von beiden gleich, wie bei Lebensalter und Körperlänge, hilft dir kein Dreisatz.
| Zusammenhang | Veränderung | Unveränderliche Größe | Beispiel |
|---|---|---|---|
| proportional | mehr führt zu entsprechend mehr | Quotient | mehr Kugeln Eis kosten mehr |
| antiproportional | mehr führt zu entsprechend weniger | Produkt | mehr Bagger brauchen weniger Zeit |
| keiner von beiden | kein festes Verhältnis oder Produkt | keine passende Konstante | Lebensalter und Körperlänge |
Definition
Proportionale Zuordnung
Eine Zuordnung ist proportional, wenn sich beide Größen mit demselben Faktor verändern. Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Der Quotient zusammengehöriger Werte bleibt gleich.
Definition
Antiproportionale Zuordnung
Eine Zuordnung ist antiproportional oder umgekehrt proportional, wenn sich die Größen mit entgegengesetzten Faktoren verändern. Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Das Produkt zusammengehöriger Werte bleibt gleich.
Teste dich
Bei einem proportionalen Zusammenhang machst du auf beiden Seiten immer dieselbe Rechnung. So gehst du vor: Schreibe die bekannte Zuordnung auf. Rechne auf 1 oder auf einen anderen geeigneten Zwischenwert. Rechne vom Zwischenwert auf den gesuchten Wert. Schreibe einen Antwortsatz und prüfe die Einheit. Du musst nicht immer auf 1 rechnen. Bei 15 kg ≙ 70 € und der Frage nach 9 kg ist 3 kg ein günstiger Zwischenwert: Durch 5 ergibt 3 kg ≙ 14 €, mal 3 ergibt 9 kg ≙ 42 €.
Beispiel: 3 Kugeln Eis kosten 5,40 €. Wie viel kosten 7 Kugeln?
- 1Bekannt: 3 Kugeln ≙ 5,40 €
- 2Durch 3 auf eine Kugel: 5,40 € : 3 = 1,80 €, also 1 Kugel ≙ 1,80 €
- 3Mal 7: 1,80 € · 7 = 12,60 €, also 7 Kugeln ≙ 12,60 €
- 4Antwort: 7 Kugeln kosten 12,60 €.
Merke: Proportional bedeutet: gleicher Faktor auf beiden Seiten. Der Zwischenwert 1 ist praktisch, aber nicht zwingend.
Teste dich
Beim antiproportionalen Dreisatz bleibt eine Gesamtmenge gleich, etwa dieselbe Arbeit oder derselbe Brief. Veränderst du die eine Größe mit einem Faktor, rechnest du bei der anderen Größe mit der umgekehrten Operation. Teilst du links durch 2, multiplizierst du rechts mit 2. Auch hier kannst du über 1 rechnen: Ein Bagger allein bräuchte zehnmal so lange wie zehn Bagger.
Beispiel: 10 Bagger brauchen für eine Arbeit 20 Stunden. Wie lange brauchen 5 Bagger?
- 1Bekannt: 10 Bagger ≙ 20 Stunden
- 2Baggerzahl durch 2: 10 : 2 = 5 Bagger
- 3Weniger Bagger brauchen mehr Zeit, also Zeit mal 2: 20 · 2 = 40 Stunden
- 4Antwort: 5 Bagger brauchen 40 Stunden.
Merke: Antiproportional bedeutet: Operation umkehren. Teilst du auf der einen Seite durch einen Faktor, multiplizierst du auf der anderen Seite mit diesem Faktor.
Teste dich
Eine Probe zeigt dir, ob dein Ergebnis zur Zuordnungsart passt. Bei der Quotientenprobe teilst du in jeder Zeile dieselbe Größe durch die andere, immer in derselben Reihenfolge. Bei proportionalen Zuordnungen kommt jedes Mal dasselbe heraus. Bei der Produktprobe multiplizierst du die zusammengehörigen Werte. Bei antiproportionalen Zuordnungen sind die Produkte gleich. Prüfe außerdem, ob das Ergebnis plausibel ist: Mehr Ware darf bei gleichem Stückpreis nicht weniger kosten. Und schreib die Einheiten an die Werte, also Euro, Kilogramm oder Stunden.
Beispiel: Die Proben für Eis und Bagger
- 1Eis, 3 Kugeln: 5,40 € : 3 = 1,80 € pro Kugel
- 2Eis, 7 Kugeln: 12,60 € : 7 = 1,80 € pro Kugel
- 3Bagger, 10 Stück: 10 · 20 = 200 Baggerstunden
- 4Bagger, 5 Stück: 5 · 40 = 200 Baggerstunden
- 5Gleiche Quotienten und gleiche Produkte: Beide Ergebnisse passen.
Merke: Erst die Zuordnungsart prüfen, dann rechnen, dann die Probe machen: gleiche Quotienten bei proportional, gleiche Produkte bei antiproportional.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Dreisatz
Zuordnung prüfen
proportional, antiproportional oder keine von beiden
Proportional rechnen
auf beiden Seiten dieselbe Operation
Antiproportional rechnen
auf der anderen Seite die Operation umkehren
Ergebnis prüfen
Quotient, Produkt, Einheit und Plausibilität
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Rezept braucht für 4 Personen 300 g Nudeln. Wie viel brauchst du für 6 Personen?
- 1Zuordnung prüfen: doppelt so viele Personen essen doppelt so viel, also proportional
- 2Bekannt: 4 Personen ≙ 300 g
- 3Durch 4: 300 g : 4 = 75 g, also 1 Person ≙ 75 g
- 4Mal 6: 75 g · 6 = 450 g, also 6 Personen ≙ 450 g
- 5Probe: 450 g : 6 = 75 g pro Person, wie oben
- 6Antwort: Für 6 Personen brauchst du 450 g Nudeln.
Fehler finden
8 Kinder teilen sich Bonbons, jedes bekommt 6 Stück. Wie viele bekommt jedes Kind, wenn es 12 Kinder sind? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Hier wurde proportional gerechnet, obwohl die Zuordnung antiproportional ist. Ein Kind allein bekäme alle Bonbons: 6 · 8 = 48. Für 12 Kinder gilt dann 48 : 12 = 4 Bonbons pro Kind.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt zusammengehöriger Werte gleich. Bei einer antiproportionalen Zuordnung rechnest du auf der anderen Seite mit der Operation. Mehr Bagger brauchen für dieselbe Arbeit Zeit.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback