Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Dreieck: Arten, Winkel, Umfang und Fläche
Ein Dreieck hat drei Ecken und drei Seiten. Du lernst, Dreiecke zu beschriften, einzuteilen und Winkel, Umfang und Fläche zu berechnen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Ecken und drei Seiten. Seine drei Innenwinkel ergeben immer 180°. Den Umfang berechnest du mit U = a + b + c, den Flächeninhalt mit A = \frac{g \cdot h}{2}.
Ein Stück Pizza, ein Warnschild, der Giebel eines Hauses: Dreiecke sind überall. Ein Dreieck bleibt ein Dreieck, egal wie du es drehst und wie lang seine Seiten sind. Hier lernst du, Dreiecke richtig zu beschriften, nach Seiten und Winkeln einzuteilen und Winkel, Umfang und Fläche zu berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Nimm drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, und verbinde jeden mit jedem. So entsteht ein Dreieck. Die Ecken heißen meist A, B und C, beschriftet gegen den Uhrzeigersinn. Jede Seite bekommt den kleinen Buchstaben der Ecke, die ihr gegenüber liegt. Die Winkel heißen nach ihren Ecken \alpha, \beta und \gamma.
Definition
Dreieck
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur aus drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, und den drei Strecken zwischen ihnen. Die Punkte heißen Ecken, die Strecken Seiten.
| Ecke | Gegenüberliegende Seite | Winkel an der Ecke |
|---|---|---|
| A | a | \alpha |
| B | b | \beta |
| C | c | \gamma |
Merke: Die Seite a liegt nicht an der Ecke A, sondern ihr gegenüber. Die Lage auf dem Blatt spielt keine Rolle: Auch ein gedrehtes Dreieck bleibt ein Dreieck mit denselben Namen.
Teste dich
Du kannst jedes Dreieck auf zwei Arten beschreiben: nach seinen Seitenlängen und nach seinen Innenwinkeln. Ein Dreieck hat immer einen Namen aus jeder Einteilung, zum Beispiel gleichschenklig und rechtwinklig. Ein gleichseitiges Dreieck ist ein besonderer Fall des gleichschenkligen Dreiecks, denn es hat sogar drei gleich lange Seiten.
| Art | Merkmal |
|---|---|
| Gleichseitig | Alle drei Seiten sind gleich lang, alle Winkel sind 60°. |
| Gleichschenklig | Mindestens zwei Seiten sind gleich lang. Die Winkel gegenüber diesen Seiten sind gleich groß. |
| Ungleichseitig | Alle drei Seiten sind verschieden lang. |
| Spitzwinklig | Alle drei Winkel sind kleiner als 90°. |
| Rechtwinklig | Genau ein Winkel ist 90°. |
| Stumpfwinklig | Genau ein Winkel ist größer als 90°. |
Beispiel: Ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 5 cm und 5 cm einordnen
- 1Nach Seiten: Alle drei Seiten sind gleich lang, also gleichseitig.
- 2Nach Winkeln: Jeder Winkel ist 60°, also kleiner als 90°.
- 3Das Dreieck ist gleichseitig und spitzwinklig.
Teste dich
Die drei Innenwinkel ergeben zusammen immer \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ. Kennst du zwei Winkel, ziehst du beide von 180° ab. Der Umfang ist die Länge des Randes: U = a + b + c. Für die Seiten 4 cm, 5 cm und 6 cm ist das 4 cm + 5 cm + 6 cm = 15 cm. Kennst du den Umfang, erhältst du eine fehlende Seite mit a = U - b - c. Für den Flächeninhalt brauchst du eine Grundseite g und die zugehörige Höhe h. Sie verläuft von der gegenüberliegenden Ecke senkrecht zur Grundseite. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann sie außerhalb liegen und die verlängerte Grundseite treffen. A = \frac{g \cdot h}{2} Warum die Hälfte? Eine gedrehte Kopie des Dreiecks ergibt zusammen mit dem Original ein Parallelogramm mit der Fläche g \cdot h. Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Seiten am rechten Winkel Grundseite und Höhe zugleich.
Beispiel: Gegeben sind \alpha = 65^\circ und \beta = 45^\circ. Gesucht ist \gamma
- 1180° − 65° − 45° = 70°
- 2Kontrolle: 65° + 45° + 70° = 180°
Beispiel: Fläche mit der Grundseite c = 12 cm und der Höhe h_c = 5 cm
- 1A = \frac{g \cdot h}{2}
- 212 cm · 5 cm = 60 cm²
- 360 cm² : 2 = 30 cm²
Merke: Kombiniere eine Grundseite nur mit ihrer zugehörigen senkrechten Höhe. Der Umfang ist eine Länge (cm), die Fläche hat eine Quadrateinheit (cm²).
Teste dich
Im Dreieck gibt es vier besondere Linienarten, jede davon dreimal. Höhe, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende beginnen an einer Ecke, erfüllen aber verschiedene Aufgaben. Die Mittelsenkrechte beginnt nicht an einer Ecke, sondern steht senkrecht auf der Mitte einer Seite. Kongruent heißt deckungsgleich: Zwei Dreiecke passen durch Verschieben, Drehen oder Umklappen genau aufeinander. Dafür musst du nicht alles vergleichen. Es genügt eine der vier Angaben aus den Kongruenzsätzen: SSS (drei Seiten), SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel), WSW (eine Seite und die beiden anliegenden Winkel) oder SsW (zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren der beiden Seiten).
| Linie | Verlauf | Die drei schneiden sich im |
|---|---|---|
| Höhe | von einer Ecke senkrecht zur Geraden der gegenüberliegenden Seite | Höhenschnittpunkt |
| Winkelhalbierende | teilt den Winkel an einer Ecke in zwei gleich große Winkel | Mittelpunkt des Inkreises |
| Seitenhalbierende | von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, nicht unbedingt senkrecht | Schwerpunkt |
| Mittelsenkrechte | senkrecht durch den Mittelpunkt einer Seite | Mittelpunkt des Umkreises, gleich weit von allen Ecken |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Dreieck
Beschriften
Seite a liegt gegenüber der Ecke A
Arten
nach Seiten und nach Winkeln einteilen
Winkelsumme
\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
Umfang
U = a + b + c
Fläche
A = \frac{g \cdot h}{2} mit der zugehörigen Höhe
Kongruenz
SSS, SWS, WSW und SsW
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm und bei C einen rechten Winkel
- 1Art: Alle Seiten sind verschieden lang und ein Winkel ist 90°, also ungleichseitig und rechtwinklig.
- 2Umfang: 6 cm + 8 cm + 10 cm = 24 cm
- 3Die Seiten am rechten Winkel sind 6 cm und 8 cm lang. Sie sind Grundseite und Höhe.
- 4Fläche: 6 cm · 8 cm : 2 = 24 cm²
- 5Umfang und Fläche haben hier dieselbe Zahl, aber verschiedene Einheiten: cm und cm².
Fehler finden
Fläche eines Dreiecks mit c = 10 cm, b = 6 cm und der Höhe h_c = 4 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Seite b ist keine Höhe, sie steht nicht senkrecht auf c. Zu c gehört h_c: 10 cm · 4 cm : 2 = 20 cm².
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für die Fläche brauchst du eine Grundseite und die . Du multiplizierst beide und teilst das Produkt durch . Das Ergebnis steht in einer .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback