Mathematik · Klasse 7 · aktualisiert
Dreiecksungleichung: Dreiecke sicher prüfen
Mit der Dreiecksungleichung prüfst du, ob drei Längen ein echtes Dreieck bilden. Du lernst den Schnelltest, den Grenzfall und die Grenzen der dritten Seite.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Dreiecksungleichung besagt: In einem echten Dreieck sind zwei Seiten zusammen immer länger als die dritte. Ordnest du die Längen als a \le b \le c, genügt der Test a + b > c. Beispiel: 3 cm, 4 cm und 5 cm bilden ein Dreieck, denn 3 cm + 4 cm = 7 cm ist länger als 5 cm.
Drei Stäbe sind 2 cm, 3 cm und 6 cm lang. Egal, wie du sie legst: Ein Dreieck wird daraus nicht. Aus drei positiven Längen entsteht genau dann ein echtes Dreieck, wenn die beiden kürzeren zusammen größer als die längste sind. So entscheidest du schon vor dem Zeichnen, ob eine Konstruktion aus drei Seiten (SSS) möglich ist.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein echtes Dreieck hat drei positive Seitenlängen a, b und c. Für jede Seite gilt: Die beiden anderen Seiten sind zusammen länger als sie. a + b > c, \qquad a + c > b, \qquad b + c > a Du musst aber nicht alle drei Ungleichungen prüfen. Ordne die Längen von klein nach groß, also 0 \lt a \le b \le c. Dann genügt ein einziger Test: a + b > c. Die anderen beiden Ungleichungen stimmen dann automatisch, weil auf ihrer linken Seite schon die längste Seite c steht.
Definition
Dreiecksungleichung
In einem echten, also nicht entarteten Dreieck ist die Summe der Längen zweier Seiten stets größer als die Länge der dritten Seite.
Beispiel: 3 cm, 4 cm und 5 cm prüfen
- 1Sortieren: 3 cm ≤ 4 cm ≤ 5 cm
- 2Die beiden kürzeren addieren: 3 cm + 4 cm = 7 cm
- 3Mit der längsten vergleichen: 7 cm > 5 cm
- 4Ergebnis: Es gibt ein echtes Dreieck.
Teste dich
Stell dir die Seiten als Wege zwischen drei Punkten A, B und C vor. Der direkte Weg von A nach B ist kürzer als der Umweg über C, solange die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Bei der Konstruktion zeichnest du zuerst die längste Seite. Um ihre Endpunkte schlägst du Kreise mit den beiden anderen Längen als Radien. Nur wenn sich die Kreise schneiden, entsteht die dritte Ecke. Nach dem Sortieren 0 \lt a \le b \le c gibt es deshalb drei Fälle.
| Vergleich | Was geometrisch passiert | Ergebnis |
|---|---|---|
| a+b>c | Die Kreise schneiden sich, die dritte Ecke liegt außerhalb der Grundseite. | echtes Dreieck |
| a+b=c | Alle drei Eckpunkte liegen auf einer Geraden. | entartete Figur, kein echtes Dreieck |
| a+b \lt c | Die beiden kürzeren Seiten reichen nicht bis zueinander. | kein Dreieck |
Beispiel: Der Grenzfall 2 cm, 3 cm und 5 cm
- 1Die beiden kürzeren addieren: 2 cm + 3 cm = 5 cm
- 2Die Summe ist genau so lang wie die längste Seite.
- 3Die beiden kurzen Strecken liegen flach auf der langen.
- 4Es entsteht keine Fläche, also kein echtes Dreieck.
Merke: Die Dreiecksungleichung ist nicht nur eine Rechenregel. Sie sagt dir, ob die beiden kürzeren Seiten die Endpunkte der längsten Seite überhaupt zu einer dritten Ecke verbinden können.
Teste dich
Oft kennst du zwei Seiten und suchst die möglichen Längen der dritten. Dann fasst du die drei Dreiecksungleichungen für die Seite c zusammen: |a-b| \lt c \lt a+b Die dritte Seite muss also länger als der Unterschied der beiden anderen und zugleich kürzer als ihre Summe sein. Beide Zeichen sind strikt. Genau auf den Grenzen entsteht nur eine entartete Figur.
Beispiel: Zwei Seiten sind 4 cm und 7 cm lang
- 1Untere Grenze: 7 cm − 4 cm = 3 cm
- 2Obere Grenze: 7 cm + 4 cm = 11 cm
- 3Also gilt 3\,\text{cm} \lt c \lt 11\,\text{cm}.
- 4c = 6\,\text{cm} ist möglich, bei c = 3\,\text{cm} oder c = 11\,\text{cm} entsteht nur eine entartete Figur.
Merke: Die dritte Seite liegt strikt zwischen dem Unterschied und der Summe der beiden anderen Seiten: |a-b| \lt c \lt a+b.
Teste dich
Die Grundidee gilt ganz allgemein für Abstände. Bezeichnet d(X,Y) den Abstand zwischen zwei Punkten, dann gilt: d(X,Y) \le d(X,Z) + d(Z,Y) In Worten: Der direkte Weg ist nie länger als ein Umweg über einen dritten Punkt Z. Hier steht bewusst \le statt \lt. Liegt Z auf der kürzesten Verbindung von X nach Y, ist der Umweg genau so lang wie der direkte Weg. Auch die umgekehrte Form gilt für Abstände: |d(X,Z) - d(Z,Y)| \le d(X,Y)
Merke: Bei drei beliebigen Punkten ist Gleichheit erlaubt, denn die Punkte dürfen auf einer Geraden liegen. Bei den Seiten eines echten Dreiecks ist Gleichheit ausgeschlossen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Dreiecksungleichung
Echtes Dreieck
Die zwei kürzeren Seiten sind zusammen länger als die längste
Schnelltest
Längen sortieren und nur die kürzeren gegen die längste prüfen
Grenzfall
Bei Gleichheit entsteht eine flache, entartete Figur
Unmöglicher Fall
Ist die Summe kleiner, treffen sich die Seiten nicht
Dritte Seite
liegt strikt zwischen Unterschied und Summe der anderen
Abstände
Der direkte Weg ist höchstens so lang wie jeder Umweg
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Zwei Seiten sind 6 cm und 9 cm lang. Welche ganzen Zentimeter passen für die dritte Seite?
- 1Untere Grenze: 9 cm − 6 cm = 3 cm
- 2Obere Grenze: 9 cm + 6 cm = 15 cm
- 3Bedingung: 3\,\text{cm} \lt c \lt 15\,\text{cm}
- 4Ganze Zentimeter: 4 cm, 5 cm, … bis 14 cm, das sind 11 Möglichkeiten
- 5Probe mit 14 cm: 6 cm + 9 cm = 15 cm ist länger als 14 cm
Fehler finden
Bilden 2 cm, 9 cm und 6 cm ein Dreieck? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Addiert wurden nicht die beiden kürzeren Längen. Sortiert: 2 cm ≤ 6 cm ≤ 9 cm. Richtig ist 2 cm + 6 cm = 8 cm, und 8 cm ist kürzer als 9 cm. Es gibt also kein Dreieck.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei geordneten positiven Längen entsteht ein echtes Dreieck, wenn die Summe der beiden kürzeren Seiten als die längste Seite ist. Bei Gleichheit ist die Figur . Ist die Summe kleiner, ist die Konstruktion .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback