Mathematik · Klasse 7 · aktualisiert
Dreieckskonstruktion: SSS, SWS, WSW und SsW
Mit Planfigur, Zirkel und Geodreieck konstruierst du Dreiecke nach SSS, SWS, WSW und SsW. Du lernst auch zu prüfen, ob es eine Lösung gibt.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Dreieck lässt sich eindeutig konstruieren, wenn die Angaben zu einem Kongruenzsatz passen: SSS, SWS, WSW oder SsW mit dem Winkel gegenüber der längeren Seite. Bei SSS muss außerdem die Dreiecksungleichung gelten: Je zwei Seiten sind zusammen länger als die dritte.
Drei Angaben, ein Dreieck: Das klappt nicht immer. Manchmal gibt es genau eine Lösung, manchmal zwei, manchmal keine. Hier lernst du, mit einer Planfigur den passenden Fall zu erkennen, das Dreieck mit Zirkel und Geodreieck zu konstruieren und dein Ergebnis zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Im Dreieck ABC liegt jede Seite der gleichnamigen Ecke gegenüber: a = \overline{BC}, \qquad b = \overline{AC}, \qquad c = \overline{AB} Die Winkel heißen \alpha bei A, \beta bei B und \gamma bei C. Gehe bei jeder Aufgabe in derselben Reihenfolge vor: Zeichne freihändig eine Planfigur und beschrifte Ecken, Seiten und Winkel. Markiere farbig, was gegeben ist. Erkenne daran den Konstruktionsfall. Dann konstruierst du, beschriftest das Ergebnis und prüfst Längen, Winkel und ob es weitere Lösungen gibt.
Definition
Bestimmungsstücke
Bestimmungsstücke sind die gegebenen Seitenlängen und Winkelgrößen, aus denen du ein Dreieck konstruierst. Drei Angaben legen ein Dreieck nur dann eindeutig fest, wenn mindestens eine Länge dabei ist, ein Kongruenzsatz passt und die Angaben überhaupt ein Dreieck zulassen.
Merke: Die Seite a liegt nicht bei A, sondern gegenüber von A. Entsprechend liegt b gegenüber von B und c gegenüber von C.
Teste dich
SSS heißt: Alle drei Seitenlängen sind gegeben. Du zeichnest eine Seite als Grundseite. Die beiden anderen Seiten werden zu Radien von Kreisbögen um die Endpunkte. Wo sich die Bögen schneiden, liegt die dritte Ecke. Bevor du zeichnest, prüfst du, ob das überhaupt gehen kann. Schneiden sich die Bögen auf beiden Seiten der Grundseite, entstehen zwei spiegelbildliche, aber deckungsgleiche Dreiecke. Du zeichnest eines davon.
Definition
Dreiecksungleichung
Ein Dreieck existiert nur, wenn je zwei Seitenlängen zusammen größer sind als die dritte. Sind sie genau gleich lang, berühren sich die Kreisbögen nur in einem Punkt auf der Geraden durch die Grundseite, und es entsteht kein echtes Dreieck. Sind sie kürzer, erreichen sich die Bögen gar nicht.
Beispiel: Dreieck mit a = 6 cm, b = 4 cm und c = 7 cm
- 1Prüfen: 6 cm + 4 cm = 10 cm > 7 cm
- 26 cm + 7 cm = 13 cm > 4 cm
- 34 cm + 7 cm = 11 cm > 6 cm
- 4Zeichne \overline{AB} = c = 7\,\mathrm{cm}.
- 5Kreisbogen um A mit b = 4\,\mathrm{cm}, Kreisbogen um B mit a = 6\,\mathrm{cm}
- 6Ein Schnittpunkt ist C. Verbinde C mit A und B.
Teste dich
SWS heißt: Zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen sind gegeben. Eingeschlossen bedeutet, dass der Winkel genau an der Ecke liegt, an der sich die beiden Seiten treffen. WSW heißt: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel sind gegeben. Die freien Schenkel müssen sich schneiden, deshalb müssen die beiden Winkel zusammen kleiner als 180° sein. Du trägst beide Winkel auf derselben Seite der Grundseite an. Zur Kontrolle ist der dritte Winkel 180° minus die beiden gegebenen, bei den Winkeln 60° und 35° also 180° − 60° − 35° = 85°.
Beispiel: SWS mit b = 4 cm, c = 7 cm und \alpha = 45^\circ
- 1\alpha liegt bei A, zwischen b und c: Fall SWS.
- 2Zeichne \overline{AB} = c = 7\,\mathrm{cm}.
- 3Trage in A den Winkel \alpha = 45^\circ an.
- 4Miss auf dem freien Schenkel b = 4\,\mathrm{cm} ab. Dort liegt C.
- 5Verbinde C mit B.
Beispiel: WSW mit c = 7 cm, \alpha = 60^\circ und \beta = 35^\circ
- 1Kontrolle: 60° + 35° = 95° < 180°
- 2Zeichne \overline{AB} = c = 7\,\mathrm{cm}.
- 3Trage in A den Winkel \alpha = 60^\circ an, in B auf derselben Seite \beta = 35^\circ.
- 4Der Schnittpunkt der freien Schenkel ist C.
Merke: Drei Winkel allein (WWW) sind kein Kongruenzsatz. Sie legen die Form fest, aber nicht die Größe des Dreiecks.
Teste dich
Bei SsW sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben, der nicht zwischen ihnen liegt. Eindeutig ist das nur, wenn der Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt. Das große S in SsW steht für diese längere Seite. Liegt der Winkel der kürzeren Seite gegenüber, kann der Kreisbogen den Winkelschenkel zweimal oder gar nicht schneiden. Dann gibt es zwei Dreiecke oder keines. Deshalb prüfst du bei SsW immer zuerst die Lage von Winkel und Seiten.
Beispiel: SsW mit a = 4 cm, c = 3 cm und \alpha = 30^\circ
- 1\alpha liegt a gegenüber, und a ist länger als c: eindeutig.
- 2Zeichne \overline{AB} = c = 3\,\mathrm{cm}.
- 3Trage in A den Winkel \alpha = 30^\circ an.
- 4Kreisbogen um B mit a = 4\,\mathrm{cm}
- 5Sein Schnittpunkt mit dem freien Schenkel ist C. Verbinde C mit B.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Dreieckskonstruktion
Planen
Planfigur zeichnen und Angaben zuordnen
SSS
drei Seiten, vorher die Dreiecksungleichung prüfen
SWS
zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel
WSW
eine Seite mit zwei anliegenden Winkeln
SsW
eindeutig nur mit dem Winkel gegenüber der längeren Seite
Kontrollieren
Beschriftung, Maße und Zahl der Lösungen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Konstruiere das Dreieck mit a = 5 cm, b = 6 cm und \gamma = 50^\circ
- 1Planfigur: \gamma liegt bei C, dort treffen a und b zusammen.
- 2Der Winkel ist eingeschlossen, also Fall SWS: Es gibt genau ein Dreieck.
- 3Zeichne \overline{CB} = a = 5\,\mathrm{cm}.
- 4Trage in C den Winkel \gamma = 50^\circ an.
- 5Miss auf dem freien Schenkel b = 6\,\mathrm{cm} ab. Dort liegt A.
- 6Verbinde A mit B und beschrifte alle Ecken und Seiten.
Fehler finden
WSW mit c = 6 cm, \alpha = 50^\circ und \beta = 70^\circ In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Die Winkel liegen auf verschiedenen Seiten von \overline{AB}, so schneiden sich die Schenkel nicht. Richtig: Trage \beta = 70^\circ in B auf derselben Seite an wie \alpha.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei SSS prüfst du zuerst die . Bei SWS liegt der Winkel den beiden gegebenen Seiten. Drei Winkel allein legen die eines Dreiecks nicht fest.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback