Fünfeck: Arten, Winkel und Formeln erklärt

Ein Fünfeck hat genau fünf Eckpunkte. Verbindest du jeweils zwei benachbarte Eckpunkte, entstehen seine fünf Seiten. Einfache Fünfecke können konvex oder konkav sein. Schneiden sich zwei nicht benachbarte Seiten, ist das Fünfeck überschlagen und damit kein einfaches Fünfeck. Gleichseitig bedeutet nur: Alle fünf Seiten sind gleich lang. Regelmäßig bedeutet mehr: Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Diese Form kennst du von den schwarzen Flecken auf einem klassischen Fußball.

Für ein einfaches Vieleck mit n Ecken gilt die Innenwinkelsumme (n - 2) \cdot 180^\circ. Mit n = 5 erhältst du (5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ. Die 3 hat einen Grund: Durch geeignete Diagonalen zerlegst du jedes einfache Fünfeck in drei Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Winkelsumme 180°, zusammen sind das 3 · 180° = 540°. Kennst du vier Innenwinkel, berechnest du den fünften, indem du ihre Summe von 540° abziehst.

Ein regelmäßiges Fünfeck hat einen Mittelpunkt. Verbindest du ihn mit allen fünf Ecken, entstehen fünf deckungsgleiche, gleichschenklige Dreiecke. Die fünf Winkel am Mittelpunkt füllen zusammen einen Vollwinkel von 360°. In jedem dieser Dreiecke bleibt der Rest für die beiden gleich großen Basiswinkel. An jeder Ecke des Fünfecks treffen zwei Basiswinkel zusammen und bilden den Innenwinkel. Dasselbe Ergebnis liefert die Innenwinkelsumme: 540° : 5 = 108°.

Die folgenden Formeln gelten für das regelmäßige Fünfeck mit der Seitenlänge a. Der Umfang ist die Summe der fünf gleich langen Seiten: U = 5a. Für die Fläche zerlegst du das Fünfeck in fünf Dreiecke mit der Grundseite a und der Höhe r. Dabei ist r der Inkreisradius, also der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zu einer Seite. Daher gilt A = 5 \cdot \frac{a \cdot r}{2} = \frac{5}{2}ar. Kennst du nur a, nimmst du A = \frac{a^2}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 1{,}72a^2. Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Die fünf Diagonalen bilden einen fünfzackigen Stern, das Pentagramm. Jede Diagonale ist d = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot a \approx 1{,}618a lang. Auch die Schnittpunkte der Diagonalen teilen Strecken im Goldenen Schnitt: Die ganze Strecke verhält sich zum längeren Teil wie der längere zum kürzeren Teil.