Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
Einsetzungsverfahren einfach erklärt
Du lernst, ein lineares Gleichungssystem zu lösen, indem du eine Variable freistellst und ihren Ausdruck in die andere Gleichung einsetzt.
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Kurz gesagt
Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung eines linearen Gleichungssystems nach einer Variablen auf, zum Beispiel x = 1 + y. Diesen Ausdruck setzt du in Klammern in die andere Gleichung ein. Dann bleibt nur eine Variable übrig: Du berechnest sie, setzt sie zurück ein und machst die Probe.
Beim Einsetzungsverfahren ersetzt du in einer Gleichung eine Variable durch einen gleichwertigen Ausdruck. Dadurch bleibt nur noch eine Variable übrig, die du berechnen kannst. Das Verfahren ist besonders günstig, wenn eine Variable bereits allein steht oder sich leicht freistellen lässt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht hier aus zwei Gleichungen mit den Variablen x und y. Gesucht ist ein Wertepaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Sagt eine Gleichung zum Beispiel x = 6 - 2y, dann haben x und 6 - 2y denselben Wert. Deshalb darfst du in der anderen Gleichung 3x + 2y = 10 jedes x durch 6 - 2y ersetzen: 3(6 - 2y) + 2y = 10. Jetzt kommt nur noch y vor. Du gehst immer in fünf Schritten vor: eine Variable freistellen, den Ausdruck einsetzen, die Gleichung lösen, den Wert rückeinsetzen und beide Werte prüfen.
Definition
Einsetzungsverfahren
Du löst eine Gleichung nach einer Variablen auf. Den Ausdruck setzt du anstelle dieser Variablen in die andere Gleichung ein. So entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten.
Beispiel: I: 2x + y = 8 und II: x - y = 1 lösen
- 1II freistellen: x = 1 + y
- 2In I einsetzen: 2(1 + y) + y = 8
- 3Ausmultiplizieren: 2 + 2y + y = 8, also 2 + 3y = 8
- 43y = 6, also y = 2
- 5Rückeinsetzen: x = 1 + 2 = 3
- 6Probe: 2 \cdot 3 + 2 = 8 und 3 - 2 = 1, also L = \{(3 \mid 2)\}
Merke: Einsetzen heißt gleichwertig ersetzen. Kurzform: freistellen – einsetzen – lösen – rückeinsetzen – prüfen.
Teste dich
Du kannst jede der beiden Gleichungen nach x oder y auflösen. Die Rechenwege sind aber nicht gleich bequem. Wähle möglichst eine Variable, die schon allein steht oder den Koeffizienten 1 oder −1 hat. Dann kommst du mit wenigen Schritten und ohne Brüche aus. Das Einsetzungsverfahren ist nicht immer das kürzeste: Gibt es in beiden Gleichungen passende Gegenterme, ist das Additionsverfahren oft schneller. Sind beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an.
Beispiel: I: 5x + y = 9 und II: x + 4y = 8
- 1Aus I nach x: x = \frac{9 - y}{5}, ein Bruch
- 2Aus II nach x: x = 8 - 4y, ohne Bruch
- 3Genauso bequem wäre y = 9 - 5x aus I, denn dort hat y den Koeffizienten 1.
Merke: Stell die Variable frei, die den Koeffizienten 1 oder −1 hat. So vermeidest du Brüche.
Teste dich
Der häufigste Fehler ist die fehlende Klammer. Steht vor der ersetzten Variablen ein Faktor, multipliziert er den ganzen Ausdruck. Bei x = 2y - 1 und 3x + y = 11 musst du deshalb 3(2y - 1) + y = 11 schreiben. Beim Ausmultiplizieren nimmst du jeden Term in der Klammer mal. Ein zweiter Fehler: Die Rechnung endet nach dem ersten Wert. Zur Lösung gehören aber beide Werte, und im Paar steht zuerst x, dann y.
Beispiel: x = 2y - 1 in 3x + y = 11 einsetzen
- 1Mit Klammer: 3(2y - 1) + y = 11
- 2Ausmultiplizieren: 6y - 3 + y = 11
- 37y = 14, also y = 2
- 4Rückeinsetzen: x = 2 \cdot 2 - 1 = 3
- 5Probe: 3 \cdot 3 + 2 = 11
Merke: Setz den eingesetzten Ausdruck immer in Klammern. Ein Faktor davor wirkt auf jeden Term darin.
Teste dich
Zwei Kinokarten kosten zusammen 18 €. Eine Erwachsenenkarte kostet 4 € mehr als eine Kinderkarte. Solche Aufgaben passen gut zum Einsetzungsverfahren, weil ein Satz wie „4 € mehr als“ direkt eine aufgelöste Gleichung liefert. Leg zuerst fest, wofür die Variablen stehen. Übersetze dann jede Aussage in eine Gleichung.
Beispiel: Preise der Kinokarten berechnen
- 1Variablen: x = Preis der Erwachsenenkarte, y = Preis der Kinderkarte in €
- 2I: x = y + 4 (4 € mehr)
- 3II: x + y = 18 (zusammen 18 €)
- 4I in II einsetzen: (y + 4) + y = 18
- 52y + 4 = 18, also 2y = 14 und y = 7
- 6Rückeinsetzen: x = 7 + 4 = 11
- 7Antwort: Die Kinderkarte kostet 7 €, die Erwachsenenkarte 11 €.
Merke: Bei Textaufgaben endet die Lösung nicht beim Wertepaar. Schreib dazu, wofür die Werte stehen, und prüfe, ob sie zur Situation passen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Einsetzungsverfahren
Ausgangspunkt
zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Freistellen
eine Variable mit dem Koeffizienten 1 oder −1 wählen
Einsetzen
den ganzen Ausdruck in Klammern einsetzen
Lösen
die Gleichung mit einer Variablen ausrechnen und rückeinsetzen
Abschluss
beide Werte angeben und in beiden Gleichungen prüfen
Textaufgaben
Variablen festlegen und im Sachzusammenhang antworten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
I: y = 2x - 1 und II: 3x + 2y = 12 lösen
- 1y steht in I schon allein.
- 2In II einsetzen: 3x + 2(2x - 1) = 12
- 3Ausmultiplizieren: 3x + 4x - 2 = 12, also 7x - 2 = 12
- 47x = 14, also x = 2
- 5Rückeinsetzen: y = 2 \cdot 2 - 1 = 3
- 6Probe: 2 \cdot 2 - 1 = 3 und 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12, also L = \{(2 \mid 3)\}
Fehler finden
I: x = 3y - 2 und II: 2x + y = 17 lösen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Klammer fehlt, deshalb wurde die -2 nicht mit 2 multipliziert. Richtig ist 2(3y - 2) + y = 17, also 7y - 4 = 17, y = 3 und x = 3 \cdot 3 - 2 = 7.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Einsetzungsverfahren musst du zuerst eine Variable . Dann du sie in der anderen Gleichung durch den vollständigen Ausdruck. Nach dem Lösen musst du den Wert .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback