Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Exponentialgleichungen erkennen und sicher lösen
Bei Exponentialgleichungen steht die Variable im Exponenten. Du lernst, sie zu erkennen und das passende Lösungsverfahren auszuwählen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die gesuchte Variable im Exponenten steht, zum Beispiel 2^x=16. Du löst sie je nach Form durch Exponentenvergleich (2^x=2^4, also x=4), durch Logarithmieren (b^x=c ergibt x=\frac{\ln(c)}{\ln(b)}) oder durch die Substitution u=a^x.
2 hoch wie viel ergibt 16? Schon diese Frage ist eine Gleichung, bei der die Unbekannte oben im Exponenten sitzt. Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten. Du löst sie meist, indem du eine gemeinsame Basis herstellst, logarithmierst oder einen wiederkehrenden Exponentialterm ersetzt. Welche Methode passt, hängt von der Form der Gleichung ab.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
In 2^x=16 ist x der Exponent. Deshalb ist dies eine Exponentialgleichung. Die Frage lautet: „2 hoch welche Zahl ergibt 16?“ Die Antwort ist x=4. In x^4=16 steht x dagegen in der Basis. Das ist eine Potenzgleichung, keine Exponentialgleichung. Entscheidend ist also nicht, ob eine Hochzahl vorkommt, sondern wo die Variable steht. In der Schule ist die Basis dabei positiv und ungleich 1.
Definition
Exponentialgleichung
Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten vorkommt. Kommt sie nur in Exponenten vor, nennt man die Gleichung rein exponentiell.
Beispiel: Exponentialgleichung oder nicht?
- 12^x=16: x steht im Exponenten, eine reine Exponentialgleichung
- 22^x+x^2=2: Exponentialgleichung, aber keine reine, denn x steht auch in x^2
- 3x^4=16: x steht in der Basis, also eine Potenzgleichung
Teste dich
Schau dir zuerst die Form der Gleichung an und prüfe dann in dieser Reihenfolge: Kannst du auf beiden Seiten dieselbe Basis herstellen? Dann vergleichst du die Exponenten. Steht eine Potenz allein auf einer Seite und ist die andere Seite positiv? Dann kannst du logarithmieren. Summen musst du vorher passend umformen. Kommen etwa a^{2x} und a^x zusammen vor? Dann hilft die Substitution u=a^x. Steht die Variable zusätzlich außerhalb eines Exponenten? Dann ist eine grafische Lösung sinnvoll. Sie liefert meist nur Näherungswerte.
| Form der Gleichung | Verfahren | Beispiel |
|---|---|---|
| dieselbe Basis herstellbar | Exponentenvergleich | 64^x=16 |
| eine Potenz, andere Seite positiv | Logarithmieren | 2^x=7 |
| a^{2x} und a^x kommen vor | Substitution u=a^x | 2^{2x}-3\cdot2^x-4=0 |
| x auch außerhalb des Exponenten | grafisch oder numerisch | 4^x+x^2=5 |
Merke: Logarithmieren wirkt direkt auf Produkte und Potenzen, aber nicht auf einzelne Summanden. Aus a^x+c=b machst du zuerst a^x=b-c. Für a^x+c^x=d gibt es keine Regel, die den Logarithmus auf die Summe verteilt.
Teste dich
Exponentenvergleich: Für a>0 und a\ne1 nimmt a^t jeden Wert nur einmal an. Deshalb gilt a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x) Logarithmieren: Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Für b>0, b\ne1 und c>0 gilt b^x=c \iff x=\log_b(c)=\frac{\ln(c)}{\ln(b)} Die Potenzregel \ln(a^u)=u\ln(a) holt den Exponenten nach vorn. Statt \ln darfst du auch einen anderen Logarithmus nehmen, aber auf beiden Seiten denselben. Substitution: Kommt derselbe Exponentialterm mehrfach vor, ersetzt du ihn durch eine neue Variable u, löst die entstandene Gleichung und setzt zurück. Weil a^x immer positiv ist, gilt auch u>0.
Beispiel: Exponentenvergleich: 64^x=16
- 1Gleiche Basis: 64=2^6 und 16=2^4
- 2(2^6)^x=2^4
- 3Potenzgesetz: 2^{6x}=2^4
- 46x=4, also x=\frac{2}{3}
- 5Probe: 64^{2/3}=\sqrt[3]{64^2}=16
Beispiel: Logarithmieren: 2^x=7
- 17 ist keine Potenz von 2, also logarithmieren
- 2\ln(2^x)=\ln(7)
- 3x\cdot\ln(2)=\ln(7)
- 4x=\frac{\ln(7)}{\ln(2)}\approx2{,}807
Beispiel: Substitution: 2^{2x}-3\cdot2^x-4=0
- 1Setze u=2^x mit u>0: u^2-3u-4=0
- 2(u-4)(u+1)=0, also u=4 oder u=-1
- 3u=-1 fällt weg, denn 2^x>0
- 42^x=4=2^2, also x=2
Teste dich
Eine Probe setzt den gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung ein. Bei exakten Ergebnissen wie x=\frac{2}{3} muss die Gleichheit exakt stimmen. Bei gerundeten Ergebnissen können die beiden Seiten leicht voneinander abweichen. Das widerlegt die Lösung nicht automatisch: Die Abweichung muss zur Rundungsgenauigkeit passen. Lässt sich eine Gleichung nicht gut algebraisch lösen, formst du sie in die Form F(x)=G(x) um. Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen sind die Lösungen.
Beispiel: Grafisch lösen: 4^x+x^2=5
- 1Umformen: 4^x=-x^2+5
- 2Zeichne F(x)=4^x und G(x)=-x^2+5
- 3Die Graphen schneiden sich bei x\approx-2{,}2 und bei x=1
- 4Probe für x=1: 4^1+1^2=5, also exakt
- 5x\approx-2{,}2 ist nur eine abgelesene Näherung
Teste dich
Alles auf einen Blick
Exponentialgleichungen
Erkennen
Die Variable steht im Exponenten, nicht nur in der Basis
Exponentenvergleich
gleiche Basis herstellen, Exponenten gleichsetzen
Logarithmieren
eine einzelne positive Potenz isolieren und logarithmieren
Substitution
wiederkehrenden Term wie a^x durch u>0 ersetzen
Grafisch
Schnittpunkte liefern meist nur Näherungswerte
Probe
in die Ausgangsgleichung einsetzen und die Rundung beachten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Löse e^{2x+1}=4.
- 1Eine Potenz steht allein und 4>0: logarithmieren
- 2\ln(e^{2x+1})=\ln(4)
- 32x+1=\ln(4)
- 4x=\frac{\ln(4)-1}{2}\approx0{,}193
- 5Probe: e^{2\cdot0{,}193+1}=e^{1{,}386}\approx4
Fehler finden
Löse 2^{x+1}=4^x. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Basen 2 und 4 sind verschieden, deshalb darfst du die Exponenten noch nicht vergleichen. Schreibe 4^x=(2^2)^x=2^{2x}. Dann gilt 2^{x+1}=2^{2x}, also x+1=2x und x=1. Probe: 2^2=4=4^1.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Variable im . Haben beide Seiten dieselbe Basis, du die Exponenten. Bei der Substitution u=a^x ist u immer .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback