Exponentialgleichungen lösen: Methoden und Beispiele

Eine Gleichung ist eine Exponentialgleichung, wenn die gesuchte Variable in einem Exponenten vorkommt, etwa 2^x=16. Bei x^4=16 steht x dagegen in der Basis: Das ist eine Potenzgleichung. Die Basis ist in der Schule positiv und nicht 1. So ist die Potenz für alle reellen Exponenten definiert und eindeutig umkehrbar. Gehe beim Lösen so vor: Vereinfache die Gleichung und isoliere möglichst den Exponentialterm. Prüfe, ob sich gleiche Basen herstellen lassen. Wenn nicht, logarithmierst du. Treten zusammengehörige Potenzen derselben Basis auf, hilft eine Substitution. Klappt nichts davon, bestimmst du Schnittpunkte grafisch oder numerisch. Zum Schluss machst du die Probe. Für den ersten Fall gilt bei einer positiven Basis a\ne1: a^u=a^v \iff u=v

Wenn du keine gemeinsame Basis herstellen kannst, hilft der Logarithmus. Er kehrt das Potenzieren um: b^x=y \iff x=\log_b(y) Dabei müssen b>0, b\ne1 und y>0 gelten. Du kannst mit dem natürlichen Logarithmus \ln oder dem Zehnerlogarithmus \lg rechnen. Das entscheidende Logarithmengesetz ist die Potenzregel \ln(a^r)=r\ln(a) Sie holt den Exponenten vor den Logarithmus. Danach bleibt eine lineare Gleichung übrig.

Oft ist nicht der Logarithmus der schwierige Teil, sondern die Vorbereitung. Nutze gewöhnliche Äquivalenzumformungen und Potenzgesetze, bevor du logarithmierst. Wichtige Potenzgesetze sind a^{x+y}=a^x\cdot a^y, (a^x)^r=a^{rx} und \frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x. Den Logarithmus einer Summe darfst du nicht auf die Summanden verteilen: Im Allgemeinen gilt \ln(u+v)\ne\ln(u)+\ln(v). Isoliere deshalb zuerst eine einzelne Potenz.

Enthält eine Gleichung mehrere Potenzen derselben Basis, kann eine Substitution die Exponentialgleichung in eine bekannte algebraische Gleichung verwandeln, oft eine quadratische. Ergibt die Ersatzgleichung einen Wert u\le0, darfst du ihn bei u=a^x mit a>0 nicht zurücksubstituieren: Eine positive Basis hoch einer reellen Zahl ist stets positiv. Nicht jede Exponentialgleichung lässt sich exakt auflösen, etwa wenn x auch außerhalb eines Exponenten steht. Dann schreibst du sie als f(x)=g(x) und bestimmst die Schnittpunkte der Graphen oder rechnest numerisch. Ein abgelesener Wert ist eine Näherung: Prüfe ihn durch Einsetzen. Eine kleine Abweichung kann von der Rundung kommen, eine deutliche heißt, dass du den Wert verfeinern musst.