Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Cramersche Regel: LGS mit Determinanten lösen
Mit der Cramerschen Regel löst du ein lineares Gleichungssystem über Determinanten. Du lernst, Spalten richtig zu ersetzen und die Grenzen zu erkennen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Cramersche Regel löst ein quadratisches lineares Gleichungssystem mit Determinanten: x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}. Dabei entsteht A_i, indem du in der Koeffizientenmatrix A die i-te Spalte durch die rechte Seite ersetzt. Sie funktioniert nur, wenn \det(A)\neq0 ist.
Mit der Cramerschen Regel löst du ein quadratisches lineares Gleichungssystem mithilfe von Determinanten. Für jede gesuchte Variable ersetzt du genau eine Spalte der Koeffizientenmatrix durch die rechte Seite. Das klappt aber nur, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht null ist.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Betrachte das lineare Gleichungssystem ax+by=e \qquad cx+dy=f Die Zahlen vor den Variablen bilden die Koeffizientenmatrix A. Die rechten Seiten bilden den Vektor \vec{b}. Er bekommt einen Pfeil, damit du ihn nicht mit dem Eintrag b verwechselst: A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix} Die Cramersche Regel braucht ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte, A ist also quadratisch. Außerdem muss \det(A)\neq0 gelten. Dann hat das System genau eine Lösung.
Definition
Determinante
Die Determinante ist eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört. Für eine 2\times2-Matrix gilt \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc. Du rechnest also das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale.
Merke: Prüfe immer zuerst: Ist A quadratisch und ist \det(A)\neq0? Nur dann darfst du die Cramersche Regel verwenden.
Teste dich
Für die Variable x ersetzt du die erste Spalte von A durch die rechte Seite. Für y ersetzt du die zweite Spalte: A_x=\begin{pmatrix}e&b\\f&d\end{pmatrix},\qquad A_y=\begin{pmatrix}a&e\\c&f\end{pmatrix} Danach berechnest du drei Determinanten und bildest zwei Quotienten: x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\qquad y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)} Für ein System A\vec{x}=\vec{b} mit n Variablen lautet die allgemeine Regel x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}. Dabei entsteht A_i, indem du nur die i-te Spalte von A durch \vec{b} ersetzt.
Merke: Der Index verrät die zu ersetzende Spalte: Für x ersetzt du die x-Spalte, für y die y-Spalte. Alle anderen Spalten bleiben unverändert. Im Nenner steht immer \det(A).
Teste dich
Gegeben ist das System x+2y=3 \qquad 4x+5y=6 Du stellst zuerst A und \vec{b} auf, prüfst \det(A) und berechnest dann die beiden Ersatzdeterminanten. Zum Schluss setzt du die Lösung in beide Gleichungen ein.
Beispiel: x+2y=3 und 4x+5y=6 lösen
- 1A=\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}
- 2\det(A)=1\cdot5-2\cdot4=-3, also \det(A)\neq0
- 3\det(A_x)=\det\begin{pmatrix}3&2\\6&5\end{pmatrix}=3\cdot5-2\cdot6=3
- 4x=\frac{3}{-3}=-1
- 5\det(A_y)=\det\begin{pmatrix}1&3\\4&6\end{pmatrix}=1\cdot6-3\cdot4=-6
- 6y=\frac{-6}{-3}=2
- 7Probe: 1\cdot(-1)+2\cdot2=3 und 4\cdot(-1)+5\cdot2=6
Teste dich
Ist \det(A)=0, darfst du die Quotienten nicht bilden. Die Cramersche Regel entscheidet dann nicht, ob das System keine oder unendlich viele Lösungen hat. Dafür brauchst du ein anderes Verfahren, etwa das Additionsverfahren. Warum die Regel funktioniert, zeigt ein Blick auf die Spalten: Schreibe die Spalten von A als \vec{a}_1 und \vec{a}_2. Für die Lösung (x;y) gilt \vec{b}=x\vec{a}_1+y\vec{a}_2. In A_x steht diese Summe in der ersten Spalte. Die Determinante ist in jeder Spalte linear, also zerfällt \det(A_x) in einen Anteil mit x\vec{a}_1 und einen mit y\vec{a}_2. Der zweite Anteil enthält zweimal die Spalte \vec{a}_2, und eine Matrix mit zwei gleichen Spalten hat die Determinante null. Es bleibt \det(A_x)=x\det(A). Weil \det(A)\neq0 ist, darfst du teilen.
Merke: Aus \det(A)=0 folgt nicht automatisch „keine Lösung“. Es folgt nur: Die Cramersche Regel ist nicht anwendbar, und das System hat keine eindeutige Lösung.
| Variablen | Determinanten bei Cramer |
|---|---|
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| n | n+1 |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Cramersche Regel
Voraussetzung
A quadratisch und \det(A)\neq0
Ersatzmatrix
für x_i nur die i-te Spalte durch die rechte Seite ersetzen
Formel
x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}, im Nenner immer \det(A)
Kontrolle
die Lösung in alle Gleichungen einsetzen
Grenzen
keine Division bei \det(A)=0, viel Aufwand bei großen Systemen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
2x+y=7 und x-3y=0 lösen
- 1A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-3\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}
- 2\det(A)=2\cdot(-3)-1\cdot1=-7, also \det(A)\neq0
- 3\det(A_x)=\det\begin{pmatrix}7&1\\0&-3\end{pmatrix}=7\cdot(-3)-1\cdot0=-21
- 4x=\frac{-21}{-7}=3
- 5\det(A_y)=\det\begin{pmatrix}2&7\\1&0\end{pmatrix}=2\cdot0-7\cdot1=-7
- 6y=\frac{-7}{-7}=1
- 7Probe: 2\cdot3+1=7 und 3-3\cdot1=0
Fehler finden
3x+2y=8 und x+4y=6 lösen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Zähler und Nenner sind vertauscht. Im Nenner steht immer \det(A): x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{20}{10}=2. Mit y=\frac{10}{10}=1 stimmt die Probe: 3\cdot2+2\cdot1=8.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für x ersetzt du die Spalte von A durch die rechte Seite. Im Nenner steht immer . Ist \det(A)=0, ist die Cramersche Regel .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback