Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Beschränktes Wachstum: Modell und Berechnung
Beim beschränkten Wachstum nähert sich ein Bestand einer festen Schranke. Du lernst das Modell, bestimmst es aus Daten und berechnest Zielzeit und Tempo.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Beschränktes Wachstum liegt vor, wenn ein Bestand sich einer festen Schranke S nähert, weil sein Abstand S-B(t) zur Schranke exponentiell abnimmt. Das Modell lautet B(t)=S-(S-B_0)e^{-kt} mit k>0. Das Wachstum ist am Anfang am schnellsten und wird dann immer langsamer.
Beim beschränkten Wachstum wächst ein Bestand nicht unbegrenzt. Er nähert sich einer festen Schranke S, weil seine momentane Änderung proportional zum noch fehlenden Abstand S-B(t) ist. Genau dieser Abstand nimmt exponentiell ab.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir ein Produkt vor, das höchstens 12 % Marktanteil erreichen kann. Solange es erst wenige nutzen, ist der Abstand zur Sättigung groß. Später bleibt nur noch ein kleiner Abstand übrig. Deshalb nimmt der Bestand weiter zu, aber immer langsamer. Entscheidend ist: Nicht der Bestand wächst exponentiell, sondern der Abstand zur Schranke nimmt exponentiell ab. Für kontinuierliches beschränktes Wachstum von unten gilt: B(t)=S-(S-B_0)e^{-kt},\qquad k>0 Dabei ist B(t) der Bestand zum Zeitpunkt t, B_0=B(0) der Anfangsbestand, S die Sättigungsgrenze und S-B_0 das anfängliche Sättigungsmanko. Die Wachstumskonstante k hat als Einheit den Kehrwert der Zeiteinheit. Der Faktor e^{-kt} liegt für t\ge 0 zwischen 0 und 1 und geht gegen 0. So nähert sich B(t) der Schranke von unten, erreicht sie aber zu keinem endlichen Zeitpunkt. Startet der Bestand oberhalb von S, gilt B(t)=S+(B_0-S)e^{-kt}: Er fällt und bleibt über S. Das heißt beschränkte Abnahme.
Definition
Sättigungsmanko
Das Sättigungsmanko oder der Restbestand ist der Abstand des aktuellen Bestands B(t) von der Schranke S: R(t)=S-B(t). Beim Wachstum von unten ist B(t)<S, also R(t)>0.
Beispiel: Sättigungsmanko bei 500 möglichen Geräten
- 1Schranke: 500 Geräte, aktueller Bestand: 380 Geräte
- 2R = 500 − 380 = 120
- 3Bis zur Sättigungsgrenze fehlen noch 120 Geräte.
Merke: Ein größeres k bedeutet eine schnellere Annäherung an die Schranke. k ist aber weder ein fester Zuwachs noch ein konstanter prozentualer Wachstumsfaktor des Bestands.
Teste dich
Meist kennst du die Schranke S, den Anfangsbestand B_0 und einen Messwert. S und B_0 setzt du direkt ein, k bestimmst du mit dem Messwert und dem Logarithmus. Ein Beispiel: Ein Smartphone erreicht langfristig höchstens 12 % Marktanteil. Bei der Einführung beträgt der Anteil 0 %, nach 6 Monaten 10 %. Die Zeit t misst du in Monaten. Da B(t) in Prozent angegeben wird, sprichst du bei Änderungsraten von Prozentpunkten pro Monat, nicht von Prozent pro Monat. Zum Schluss prüfst du: B(0)=0, B(6)=10, und langfristig nähert sich B(t) dem Wert 12. Alle drei Angaben passen.
Beispiel: Modell für den Smartphone-Marktanteil
- 1S=12 und B_0=0, also B(t)=12-12e^{-kt}
- 2Messwert einsetzen: 10=12-12e^{-6k}
- 32=12e^{-6k}, also \frac{1}{6}=e^{-6k}
- 4Logarithmieren: \ln\left(\frac{1}{6}\right)=-6k
- 5k=\frac{\ln(6)}{6}\approx 0{,}299 pro Monat
- 6Modell: B(t)=12-12e^{-\frac{\ln(6)}{6}t}
Teste dich
Für einen Zielzeitpunkt setzt du den Zielbestand für B(t) ein, isolierst den Exponentialterm, logarithmierst und löst nach t auf. Ein Ziel oberhalb der Schranke ist nicht erreichbar: Im Smartphone-Modell gibt es keinen Zeitpunkt für 13 %. Genau 12 % wird nur als Grenzwert erreicht. Die Ableitung gibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an: B'(t)=k(S-B_0)e^{-kt}=k\bigl(S-B(t)\bigr) Die Geschwindigkeit ist also proportional zum noch fehlenden Abstand. Sie ist am Anfang am größten und wird dann immer kleiner.
Beispiel: Wann erreicht das Smartphone 11 % Marktanteil?
- 111=12-12e^{-\frac{\ln(6)}{6}t}
- 21=12e^{-\frac{\ln(6)}{6}t}, also \frac{1}{12}=e^{-\frac{\ln(6)}{6}t}
- 3Logarithmieren: \ln\left(\frac{1}{12}\right)=-\frac{\ln(6)}{6}t
- 4t=\frac{6\ln(12)}{\ln(6)}\approx 8{,}32 Monate
Beispiel: Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn
- 1B'(0)=k\cdot(S-B_0)=\frac{\ln(6)}{6}\cdot 12
- 2B'(0)=2\ln(6)\approx 3{,}58 Prozentpunkte pro Monat
- 3Später wird die Geschwindigkeit kleiner.
Teste dich
Eine obere Schranke allein beweist noch kein beschränktes Wachstum. Auch der Verlauf der Daten muss passen. Beim klassisch beschränkten Wachstum ist die Steigung von Anfang an am größten und nimmt dann ab. Beim logistischen Wachstum gibt es ebenfalls eine Schranke, aber der Verlauf ist S-förmig.
| Modell | Änderungsrate | Verlauf |
|---|---|---|
| unbeschränkt exponentiell | konstante relative Änderungsrate des Bestands | immer schneller, keine feste Schranke |
| klassisch beschränkt | B'(t)=k(S-B(t)) | am Anfang am schnellsten, dann immer langsamer |
| logistisch | hängt von B(t)(S-B(t)) ab | S-förmig: erst langsam, dann schneller, dann wieder langsamer |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Beschränktes Wachstum
Grundidee
Der Abstand zur Schranke S nimmt exponentiell ab
Modell
B(t)=S-(S-B_0)e^{-kt} mit k>0
Parameter
S und B_0 einsetzen, k aus einem Messwert mit dem Logarithmus
Geschwindigkeit
B'(t)=k(S-B(t)), am Anfang am größten
Zielzeit
Zielwert einsetzen, logarithmieren, Ergebnis mit der Schranke prüfen
Abgrenzung
Ein S-förmiger Verlauf gehört zum logistischen Wachstum
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Eine Flasche aus dem Kühlschrank erwärmt sich
- 16 °C am Anfang, Raumtemperatur 22 °C, nach 10 Minuten 12 °C. Wann hat sie 20 °C?
- 2S=22, B_0=6, also B(t)=22-16e^{-kt}
- 3B(10)=12: 12=22-16e^{-10k}, also e^{-10k}=\frac{10}{16}=0{,}625
- 4Logarithmieren: -10k=\ln(0{,}625), also k=\frac{\ln(1{,}6)}{10}\approx 0{,}047 pro Minute
- 5Ziel: 20=22-16e^{-kt}, also e^{-kt}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}
- 6t=\frac{10\ln(8)}{\ln(1{,}6)}\approx 44{,}2 Minuten
- 7Nach etwa 44 Minuten hat die Flasche 20 °C. Die 22 °C erreicht sie nie ganz.
Fehler finden
Modell für S=200, B_0=50 und B(5)=110 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Vor der e-Funktion steht der Anfangsabstand S-B_0=150, nicht B_0. Richtig ist B(t)=200-150e^{-kt}. Dann folgt e^{-5k}=0{,}6 und k=\frac{\ln(0{,}6)}{-5}\approx 0{,}102. Das negative k war schon ein Warnzeichen.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim beschränkten Wachstum nimmt der exponentiell ab. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist am Anfang am . Beim Wachstum von unten bleibt der Bestand immer der Schranke.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback