Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Abstand windschiefer Geraden berechnen
Windschiefe Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel. Du lernst, ihren Abstand mit Kreuzprodukt und direkter Formel zu berechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Abstand zweier windschiefer Geraden g: \vec x = \vec p + r\vec u und h: \vec x = \vec q + s\vec v ist die Länge ihrer kürzesten Verbindung, die auf beiden senkrecht steht. Mit \vec n = \vec u \times \vec v gilt d(g,h) = \frac{|(\vec q - \vec p) \cdot \vec n|}{|\vec n|}.
Zwei Flugzeuge fliegen auf geraden Bahnen in verschiedenen Richtungen aneinander vorbei, ohne dass sich die Bahnen treffen. Wie nah kommen sich die Bahnen? Das ist der Abstand zweier windschiefer Geraden: die Länge ihrer kürzesten Verbindungsstrecke. Diese Strecke steht senkrecht auf beiden Geraden. Ist nur der Abstand gesucht, führt die direkte Abstandsformel meist am schnellsten zum Ziel.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Zwei Geraden im Raum sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und nicht parallel sind. Diese Lage gibt es nur im Raum, nicht in einer Ebene. Für g: \vec x = \vec p + r\vec u und h: \vec x = \vec q + s\vec v prüfst du deshalb zwei Dinge: Die Richtungsvektoren \vec u und \vec v sind keine Vielfachen voneinander, und die Gleichung \vec p + r\vec u = \vec q + s\vec v hat keine Lösung. „Nicht parallel“ allein reicht nicht, denn nicht parallele Geraden können sich schneiden.
Definition
Gemeinsames Lot
Das gemeinsame Lot ist die Gerade, die beide windschiefen Geraden senkrecht schneidet. Die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten ist die kürzeste Verbindung, ihre Länge ist der Abstand d(g,h).
Teste dich
Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \vec n = \vec u \times \vec v steht senkrecht auf beiden Geraden. Bei windschiefen Geraden ist \vec n \neq \vec 0. Der Abstand ist die Länge des Anteils, den der Verbindungsvektor der Stützpunkte \vec q - \vec p in Richtung von \vec n hat. Du darfst jedes vom Nullvektor verschiedene Vielfache von \vec n verwenden, weil sich der Faktor zwischen Zähler und Nenner kürzt.
Merke: d(g,h) = \frac{|(\vec q - \vec p) \cdot \vec n|}{|\vec n|} mit \vec n = \vec u \times \vec v. Im Zähler steht ein Betrag, weil ein Abstand nie negativ ist. Im Nenner steht die Länge von \vec n, nicht ihr Quadrat.
| Schritt | Was du tust |
|---|---|
| 1 | \vec n = \vec u \times \vec v berechnen |
| 2 | kontrollieren: \vec n \cdot \vec u = 0 und \vec n \cdot \vec v = 0 |
| 3 | Verbindungsvektor \vec q - \vec p bilden |
| 4 | Skalarprodukt (\vec q - \vec p) \cdot \vec n berechnen |
| 5 | Betrag durch |\vec n| teilen, Einheit und Plausibilität prüfen |
Teste dich
Gegeben sind g: \vec x = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix} und h: \vec x = \begin{pmatrix}3\\-7\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}. Zuerst prüfst du die Lage: Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen. Beim Gleichsetzen liefern die erste und die dritte Koordinate r = 1 und s = -\frac{1}{3}. Diese Werte erfüllen die zweite Koordinate nicht, also gibt es keinen Schnittpunkt und die Geraden sind windschief.
Beispiel: Abstand von g und h berechnen
- 1\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\6\\-10\end{pmatrix}, einfacher: \vec n = \begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}
- 2Kontrolle: \vec n \cdot \vec u = 4 - 9 + 5 = 0 und \vec n \cdot \vec v = 12 + 3 - 15 = 0
- 3Verbindungsvektor: \vec q - \vec p = \begin{pmatrix}2\\-9\\0\end{pmatrix}
- 4d(g,h) = \frac{|2 \cdot 4 + (-9) \cdot (-3) + 0 \cdot 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2}} = \frac{35}{\sqrt{50}}
- 5\frac{35}{\sqrt{50}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4{,}95 LE
Teste dich
Die Formel lässt sich mit einer Hilfsebene erklären: Die Ebene E: \vec x = \vec p + t\vec u + k\vec v enthält g und ist parallel zu h. Ihr Normalenvektor ist \vec n = \vec u \times \vec v. Der Abstand der Geraden ist deshalb der Abstand des Stützpunkts Q von h zur Ebene E. Eine zweite Deutung nutzt einen Spat (Parallelepiped): |\vec u \times \vec v| ist die Grundfläche, |(\vec q - \vec p) \cdot (\vec u \times \vec v)| das Volumen. Volumen geteilt durch Grundfläche ergibt die Höhe, also den Abstand. Ein negativer Zwischenwert im Skalarprodukt ist normal, erst der Betrag macht daraus den Abstand.
| Gesucht | Passende Methode |
|---|---|
| nur der Abstand | direkte Formel mit \vec n = \vec u \times \vec v |
| Abstand über eine Ebene | Hilfsebene durch eine Gerade, parallel zur anderen, dann Abstand Punkt–Ebene |
| die nächstgelegenen Punkte | laufende Punkte G(r) und H(s), Verbindungsvektor senkrecht zu \vec u und \vec v |
Merke: Mit laufenden Punkten setzt du \vec w = \overrightarrow{G(r)H(s)} an und forderst \vec w \cdot \vec u = 0 und \vec w \cdot \vec v = 0. Das lineare Gleichungssystem liefert beide Lotfußpunkte, die Länge ihres Verbindungsvektors ist der Abstand.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Abstand windschiefer Geraden
Lage prüfen
nicht parallel und kein Schnittpunkt
Geometrie
das gemeinsame Lot ist die kürzeste Verbindung
Normalenvektor
Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
Direkte Formel
Betrag des Skalarprodukts durch |\vec n|
Lotfußpunkte
laufende Punkte und zwei Orthogonalitätsbedingungen
Kontrolle
Orthogonalität, Betrag, Einheit
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Abstand von g: \vec x = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} und h: \vec x = \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}
- 1Lage: \vec u und \vec v sind keine Vielfachen. Die x- und die y-Koordinate liefern r = 1 und s = -1, in der z-Koordinate dann 1 \neq 4: windschief.
- 2\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}, Kontrolle: \vec n \cdot \vec u = 2 + 0 - 2 = 0 und \vec n \cdot \vec v = 0 + 2 - 2 = 0
- 3\vec q - \vec p = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} und (\vec q - \vec p) \cdot \vec n = 2 + 2 + 2 = 6
- 4|\vec n| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3
- 5d(g,h) = \frac{6}{3} = 2 LE
Fehler finden
\vec n = \vec u \times \vec v für \vec u = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} und \vec v = \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Minus mal minus ergibt plus, also ist (-1) \cdot (-2) = 2 und n_1 = 3 - 2 = 1. Mit \vec n = \begin{pmatrix}1\\-7\\-5\end{pmatrix} klappt die Kontrolle: 2 - 7 + 5 = 0.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Windschiefe Geraden sind . Den gemeinsamen Normalenvektor liefert das der Richtungsvektoren. Im Nenner der Formel steht von \vec n.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback