Mathematik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Bogenmaß und Gradmaß einfach umrechnen
Gradmaß und Bogenmaß sind zwei Schreibweisen für denselben Winkel. Du lernst, sicher umzurechnen, wichtige Winkel herzuleiten und die Bogenlänge zu berechnen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge seines Bogens am Einheitskreis. Weil 180^\circ = \pi\,\mathrm{rad} gilt, multiplizierst du vom Grad- ins Bogenmaß mit \frac{\pi}{180^\circ} und zurück mit \frac{180^\circ}{\pi}. Beispiel: 60^\circ = \frac{\pi}{3}.
Gradmaß und Bogenmaß beschreiben denselben Winkel mit verschiedenen Zahlen. Der wichtigste Anker ist 180^\circ = \pi\,\mathrm{rad}. Deshalb multiplizierst du beim Wechsel ins Bogenmaß mit \frac{\pi}{180^\circ} und beim Wechsel ins Gradmaß mit \frac{180^\circ}{\pi}. Spätestens bei Sinus- und Kosinusfunktionen brauchst du beide.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Beim Gradmaß wird ein Vollkreis in 360 gleich große Teile geteilt. Ein solcher Teil ist 1^\circ. Ein Vollwinkel hat also 360^\circ, ein gestreckter Winkel 180^\circ und ein rechter Winkel 90^\circ. Das Bogenmaß misst denselben Winkel über einen Kreisbogen. Ein Vollkreis hat am Einheitskreis den Umfang 2\pi. Deshalb entspricht 360^\circ dem Bogenmaß 2\pi. Für einen Halbkreis folgt 180^\circ = \pi\,\mathrm{rad} und für einen Viertelkreis 90^\circ = \frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}.
Definition
Bogenmaß
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Maßzahl der zugehörigen Bogenlänge am Einheitskreis. Der Einheitskreis hat den Radius r = 1. Die Einheit heißt Radiant und wird mit \mathrm{rad} abgekürzt; häufig lässt man „rad“ weg.
Merke: Gradmaß und Bogenmaß sind keine zwei verschiedenen Winkel. Sie sind zwei Schreibweisen für dieselbe Winkelgröße, ähnlich wie zwei Einheiten für dieselbe Länge.
Teste dich
Aus 180^\circ = \pi\,\mathrm{rad} folgen beide Umrechnungen. Vom Gradmaß ins Bogenmaß rechnest du \text{Bogenmaß} = \text{Gradmaß} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}. Kürze den Zahlenbruch möglichst, bevor du einen Näherungswert berechnest. Vom Bogenmaß ins Gradmaß rechnest du \text{Gradmaß} = \text{Bogenmaß} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}. Ist das Bogenmaß kein Vielfaches von \pi, erhältst du meist einen Näherungswert. Für 1\,\mathrm{rad} gilt zum Beispiel 1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ.
Beispiel: 60^\circ ins Bogenmaß
- 160^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60}{180} \pi = \frac{\pi}{3}
- 2Das Gradzeichen kürzt sich weg.
- 3Exakt \frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}, gerundet 1{,}047\,\mathrm{rad}
Beispiel: \frac{7\pi}{6} ins Gradmaß
- 1\frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ
- 2Der Faktor \pi kürzt sich weg.
Teste dich
Du musst eine Wertetabelle nicht blind auswendig lernen. Beginne mit 180^\circ = \pi und halbiere, drittle oder verdopple beide Seiten gleich. Winkel können auch negativ oder größer als ein Vollwinkel sein. Das Vorzeichen beschreibt die Drehrichtung: Gegen den Uhrzeigersinn zählt positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Die Umrechnungsformeln bleiben dabei gleich.
| Gradmaß | Bogenmaß | Anteil am Vollkreis |
|---|---|---|
| 0^\circ | 0 | 0 |
| 30^\circ | \frac{\pi}{6} | \frac{1}{12} |
| 60^\circ | \frac{\pi}{3} | \frac{1}{6} |
| 90^\circ | \frac{\pi}{2} | \frac{1}{4} |
| 180^\circ | \pi | \frac{1}{2} |
| 360^\circ | 2\pi | 1 |
Beispiel: 60^\circ und 30^\circ herleiten
- 1Start: 180^\circ = \pi
- 2Dritteln: 60^\circ = \frac{\pi}{3}
- 3Halbieren: 30^\circ = \frac{\pi}{6}
Teste dich
Das Bogenmaß gehört zum Winkel. Die Bogenlänge b gehört dagegen zu einem konkreten Kreis und hängt zusätzlich vom Radius r ab. Ist \alpha im Gradmaß angegeben, gilt b = \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r}{180^\circ}. Ist der Winkel als Bogenmaß \varphi angegeben, gilt kurz b = r \cdot \varphi. Am Einheitskreis ist r = 1, dann gilt b = \varphi. Genau deshalb stellt die Bogenlänge dort die Maßzahl des Bogenmaßes dar. Bei Sinus, Kosinus und Tangens muss der Taschenrechner zum Winkelmaß passen: DEG oder D steht für Gradmaß, RAD oder R für Bogenmaß.
Beispiel: Bogenlänge zu 60^\circ bei r = 3 cm
- 1Winkel umwandeln: 60^\circ = \frac{\pi}{3}
- 2b = r \cdot \varphi = 3\,\mathrm{cm} \cdot \frac{\pi}{3} = \pi\,\mathrm{cm}
- 3Gerundet: b \approx 3{,}14\,\mathrm{cm}
Merke: Prüfe vor einer Sinus-, Kosinus- oder Tangensrechnung die Anzeige. Eine richtige Eingabe im falschen Modus liefert ein unpassendes Ergebnis.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Bogenmaß und Gradmaß
Gradmaß
Vollkreis 360^\circ
Bogenmaß
Bogenlänge am Einheitskreis, Vollkreis 2\pi\,\mathrm{rad}
Grundbeziehung
180^\circ = \pi\,\mathrm{rad}
Umrechnen
mal \frac{\pi}{180^\circ} ins Bogenmaß, mal \frac{180^\circ}{\pi} ins Gradmaß
Bogenlänge
b = r \cdot \varphi mit \varphi im Bogenmaß
Taschenrechner
DEG oder RAD prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Bogenlänge zu 150^\circ bei r = 4 cm
- 1Ins Bogenmaß: 150^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{150}{180} \pi = \frac{5\pi}{6}
- 2Bogenlänge: b = r \cdot \varphi = 4\,\mathrm{cm} \cdot \frac{5\pi}{6}
- 3b = \frac{10\pi}{3}\,\mathrm{cm} \approx 10{,}47\,\mathrm{cm}
- 4Kontrolle: 150^\circ ist weniger als ein Halbkreis, und 10{,}47 cm ist weniger als der halbe Umfang 4\pi\,\mathrm{cm} \approx 12{,}57\,\mathrm{cm}.
Fehler finden
45^\circ ins Bogenmaß umrechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Faktor gehört zur Gegenrichtung. Von Grad zu Bogenmaß multiplizierst du mit \frac{\pi}{180^\circ}: 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Vollkreis hat im Bogenmaß . Von Grad zu Bogenmaß multiplizierst du mit . Für \sin(30^\circ) stellst du den Taschenrechner auf .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback