Zylinderkondensator

Grundidee und Aufbau

Ein idealer Zylinderkondensator ist ein Kondensator aus zwei elektrisch leitenden Zylindermänteln. Zwischen ihnen befindet sich ein Dielektrikum, also ein Isolator. Die beiden Zylindermäntel sind koaxial, gleich hoch, und die Grundflächen der zugehörigen Zylinder liegen in derselben Ebene.

Verwendete Größen sind: E für die elektrische Feldstärke im Kondensator, U für die elektrische Spannung zwischen den Zylindermänteln, Q für die gespeicherte elektrische Ladung, R1 für den Radius des inneren Zylindermantels, R2 für den Radius des äußeren Zylindermantels, l für die Höhe der Zylindermäntel, ε0 für die elektrische Feldkonstante und εr für die relative Permittivität des Dielektrikums. Die Permittivität beschreibt, wie ein Material ein elektrisches Feld beeinflusst.

Ein realer Zylinderkondensator kann aus zwei Rohren bestehen. Dann ist R1 der Außenradius des inneren Rohres und R2 der Innenradius des äußeren Rohres. Die angegebenen Formeln gelten für den Idealfall. Anwendungen sind die Leidener Flasche, der Rohrkondensator und das Koaxialkabel.

Kapazität

Die Kapazität C gibt an, wie viel Ladung Q ein Kondensator bei einer Spannung U speichern kann. Für den idealen Zylinderkondensator gilt:

C = 2π ε0 εr · l / ln(R2/R1)

Die Formel zeigt: Die Kapazität wird größer, wenn die Höhe l größer ist oder wenn das Dielektrikum eine größere relative Permittivität εr hat. Sie hängt außerdem vom Verhältnis der Radien R2/R1 ab, genauer vom natürlichen Logarithmus ln(R2/R1).

Die Kapazität lässt sich aus C = Q/U herleiten. Dabei wird die Spannung U als Integral der elektrischen Feldstärke E(r) vom inneren Radius R1 bis zum äußeren Radius R2 berechnet. Mit E(r) = Q/(2π l ε0 εr r) ergibt sich wieder:

C = 2π ε0 εr · l / ln(R2/R1)

Elektrisches Feld

Das elektrische Feld zwischen den Zylindermänteln ist nicht homogen. Das bedeutet: Es ist nicht überall gleich stark, sondern nimmt mit wachsendem Abstand vom inneren Zylinder radial ab.

Das Feld kann mit dem Gaußschen Gesetz hergeleitet werden. Dafür betrachtet man eine geschlossene zylindrische Fläche mit einem Radius r, der zwischen R1 und R2 liegt. Der Einheitsvektor er zeigt in radialer Richtung. Für die Permittivität gilt ε = ε0 εr.

Die Feldstärke als Funktion des Radius lautet:

E(r) = Q / (2π r l ε)

Damit ist die Feldstärke bei kleinerem r größer und bei größerem r kleiner. In Abhängigkeit von der Spannung ergibt sich:

E(r) = U / (r · ln(R2/R1))

Die mittlere elektrische Feldstärke entspricht der eines Plattenkondensators:

Ē = 1/(R2 − R1) · ∫ von R1 bis R2 E(r) dr = U/(R2 − R1)

Außerhalb des Kondensators existiert im Idealfall kein von ihm verursachtes elektrisches Feld.

Spannung

Die elektrische Spannung zwischen innerem und äußerem Zylindermantel erhält man, indem man die elektrische Feldstärke vom inneren Radius R1 bis zum äußeren Radius R2 integriert:

U = ∫ von R1 bis R2 E(r) dr

Setzt man E(r) = Q/(2π r l ε) ein, ergibt sich:

U = Q/(2π l ε) · ln(R2/R1)

Dabei gilt ε = ε0 · εr. Die Spannung hängt also von der gespeicherten Ladung Q, der Höhe l, der Permittivität ε und dem Verhältnis der Radien R2/R1 ab.