Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Kern der Vermutung

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer (BSD) ist eines der sieben Millennium-Probleme und eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Zahlentheorie. Sie verbindet zwei zunächst sehr verschiedene Bereiche: rationale Lösungen algebraischer Gleichungen und das Nullstellenverhalten analytischer Funktionen. Für einen Beweis hat das Clay Mathematics Institute seit 2000 ein Preisgeld von einer Million US-Dollar ausgesetzt.

Eine elliptische Kurve E über den rationalen Zahlen kann nach einem geeigneten Variablenwechsel in der Form y² = x³ + ax + b mit a,b ∈ ℚ geschrieben werden. Zusätzlich muss ihre Diskriminante D_E = −16(4a³ + 27b²) ungleich 0 sein; dadurch werden singuläre Kurven mit Knicken oder Schleifen ausgeschlossen. Ein rationaler Punkt ist ein Punkt (x,y), bei dem beide Koordinaten rational sind. Zur Kurve gehört außerdem ein formal hinzugefügter „unendlich ferner Punkt“ O.

Der Satz von Mordell-Weil besagt, dass die rationalen Punkte eine endlich erzeugte abelsche Gruppe bilden: E(ℚ) ≅ E(ℚ)_tors × ℤʳ. Der endliche Torsionsteil E(ℚ)_tors enthält Punkte, die nach wiederholter Addition zum neutralen Punkt zurückkehren. Die Zahl r ≥ 0 heißt algebraischer Rang. Bei r = 0 gibt es nur endlich viele rationale Punkte; bei r ≥ 1 gibt es unendlich viele. Der Rang gibt an, wie viele unabhängige Erzeuger für den unendlichen Teil benötigt werden.

Der Kurve wird außerdem eine L-Funktion L(E,s) zugeordnet. Ihr analytischer Rang ist die Nullstellenordnung bei s = 1. Die zentrale Aussage lautet exakt: r = ord_{s=1} L(E,s). Damit soll eine analytisch bestimmbare Nullstellenordnung genau dieselbe Zahl liefern wie die algebraische Struktur der rationalen Punkte.

Punkte, Gruppen und lokale Daten

Das Gruppengesetz erlaubt es, aus rationalen Punkten weitere rationale Punkte zu erzeugen. Für zwei verschiedene Punkte P und Q zeichnet man die Gerade durch beide. Ihr dritter Schnittpunkt mit der Kurve wird an der x-Achse gespiegelt; das Ergebnis ist P + Q. Für P + P verwendet man die Tangente in P. Bei einer Kurve der Form y² = x³ + ax² + bx + c ist das Inverse eines Punktes seine Spiegelung an der x-Achse, und O ist das neutrale Element. Obwohl diese Konstruktion geometrisch erklärt wird, lässt sie sich allein mit den vier Grundrechenarten ausführen.

Ein Beispiel ist E: y² = x³ + x² − x. Die Punkte (1,1), (1,−1), (−1,1), (−1,−1) und (0,0) sind rational. Abgesehen von O sind dies tatsächlich alle rationalen Punkte dieser Kurve. Ihr Rang ist daher 0. Dagegen lassen sich bei Rang 1, 2 oder 3 die nicht-torsionären Punkte anschaulich wie ein ein-, zwei- oder dreidimensionales Gitter verstehen, das von entsprechend vielen unabhängigen Punkten erzeugt wird.

BSD folgt einer Lokal-Global-Idee: Statt die Kurve unmittelbar über ℚ zu untersuchen, betrachtet man ihre Reduktionen über den endlichen Körpern 𝔽_p für Primzahlen p. Dort gibt es nur endlich viele mögliche Koordinaten. Mit N_p bezeichnet man die Anzahl der Punkte von E(𝔽_p), einschließlich O. Primzahlen, welche die Diskriminante teilen, können eine singuläre Reduktion ergeben und heißen „schlechte Primzahlen“.

Für y² = x³ + x² − x gibt es über 𝔽₃ die fünf affinen Punkte (0,0), (1,1), (2,1), (1,2) und (2,2), also N₃ − 1 = 5. Der Satz von Hasse begrenzt die Abweichung der Punktzahl von p durch |N_p − 1 − p| < 2√p; insbesondere gilt N_p/p → 1.

Die ursprüngliche asymptotische Form von BSD sagt, dass für eine Konstante C > 0 ∏*_{p≤x} N_p/p ∼ C log(x)ʳ. Dabei werden p = 2 und die Primzahlen ausgeschlossen, welche die Diskriminante teilen; ∼ bedeutet, dass der Quotient beider Seiten für x → ∞ gegen 1 strebt. Höherer Rang soll sich somit darin zeigen, dass die lokalen Kurven tendenziell mehr Punkte besitzen.

L-Funktion und starke Form

Für Primzahlen mit guter Reduktion setzt man a_p = p + 1 − N_p. Die L-Funktion wird zunächst durch ein Euler-Produkt aus lokalen Faktoren definiert. Der Modularitätssatz, bewiesen durch Andrew Wiles und andere, zeigt, dass jede elliptische Kurve über ℚ zu einer Modulform vom Gewicht 2 gehört. Dadurch lässt sich L(E,s) zu einer ganzen Funktion fortsetzen und erfüllt eine Funktionalgleichung. Deren Vorzeichen sgn(E,ℚ) ∈ {+1,−1} bestimmt die Parität der Nullstellenordnung bei s = 1: Bei +1 ist sie gerade, bei −1 ungerade.

Die schwache BSD-Vermutung identifiziert nur algebraischen und analytischen Rang. Die starke Variante beschreibt zusätzlich den ersten nicht verschwindenden Taylor-Koeffizienten: lim_{s→1}(s−1)^(−r)L(E,s) = L⁽ʳ⁾(E,1)/r!. Dieser Wert soll durch arithmetische Invarianten der Kurve bestimmt sein, darunter die reelle Periode, der Regulator R(E), der Torsionsteil, die Tamagawa-Zahlen und die Tate-Shafarevich-Gruppe Sha(E).

Sha(E) misst, wie stark das Lokal-Global-Prinzip scheitert: Ein Problem kann an jeder reellen und p-adischen Stelle lösbar sein, ohne eine rationale Lösung zu besitzen. Die starke Vermutung behauptet insbesondere, dass Sha(E) stets endlich ist. Dies ist allgemein weiterhin unbewiesen. Selmer-Gruppen, die in Abstiegsverfahren auftreten, sind dagegen endlich und verbinden die Mordell-Weil-Gruppe mit den n-Torsionsanteilen von Sha(E).

Bedeutung und Anwendungen

Wäre BSD bewiesen, könnte der algebraische Rang über den meist leichter zugänglichen analytischen Rang bestimmt werden. Das wäre ein allgemeines Verfahren zur Entscheidung, ob eine elliptische Kurve endlich oder unendlich viele rationale Punkte besitzt. Bereits das Vorzeichen der Funktionalgleichung liefert unter BSD die Rangparität über (−1)ʳ = sgn(E,ℚ). Hohe analytische Ränge bleiben jedoch auch numerisch schwer zu bestimmen.

Ein wichtiges Beispiel sind kongruente Zahlen. Eine rationale Zahl n heißt kongruent, wenn sie Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen ist. Man kann n ohne Beschränkung auf quadratfreie ganze Zahlen reduzieren. Es gilt: n ist genau dann kongruent, wenn E_n: y² = x³ − n²x unendlich viele rationale Punkte besitzt. Die kleinste kongruente Zahl, die durch ein ganzzahliges rechtwinkliges Dreieck dargestellt wird, ist 6; auch 5 ist kongruent, etwa mit Seiten 3/2, 20/3 und 23/3. Coates und Wiles bewiesen: Hat E_n unendlich viele rationale Punkte, dann ist L(E_n,1) = 0. BSD würde auch die Umkehrung liefern. Tunnells Satz gibt zudem durch das Zählen ganzzahliger Lösungen bestimmter quadratischer Formen ein Kriterium, dessen hinreichende Richtung von BSD abhängt.

Eine weitere Anwendung betrifft Darstellungen von Primzahlen als Summe zweier rationaler Kuben, also x³ + y³ = p. Für p > 2 besitzt die zugehörige elliptische Kurve keine Torsionspunkte; eine einzige rationale Zerlegung führt daher zu unendlich vielen. Für p ≡ 4 oder 7 mod 9 ist Rang 1 bekannt, beispielsweise 13 = (2/3)³ + (7/3)³. Für p ≡ 2 oder 5 mod 9 gibt es keine solche Darstellung. Der Fall p ≡ 8 mod 9 ist allgemein offen; bei p ≡ 1 mod 9 können die Ränge 0 oder 2 auftreten.

Das Gruppengesetz elliptischer Kurven wird außerdem in Primzahltests, Lenstras Faktorisierungsmethode und Public-Key-Kryptographie verwendet. Elliptische Kurven sind auch geometrisch besonders: Über ℂ entsprechen sie topologisch einem Torus und haben Geschlecht g = 1. Kurven mit g = 0 und einem rationalen Punkt besitzen unendlich viele rationale Punkte, während Kurven mit g ≥ 2 nach dem Satz von Faltings nur endlich viele haben. Elliptische Kurven bilden den Zwischenfall, in dem beides möglich ist.

Bewiesene Fälle und Evidenz

Die Vermutung ist für analytischen Rang 0 und 1 bewiesen. Gross und Zagier zeigten 1983, dass eine einfache Nullstelle von L(E,s) bei s = 1 einen rationalen Punkt unendlicher Ordnung liefert. Victor Kolyvagin bewies 1990 für modulare elliptische Kurven: Ist L(E,1) ≠ 0, so ist der Rang 0; hat L(E,s) bei s = 1 eine einfache Nullstelle, so ist der Rang 1. In beiden Fällen ist auch die Tate-Shafarevich-Gruppe endlich. Da heute durch den Modularitätssatz alle elliptischen Kurven über ℚ modular sind, bestätigt dies BSD für ord_{s=1}L(E,s) ≤ 1.

Für höhere Ränge fehlen entsprechende Methoden. Die Heegner-Punkt-Methode, auf der die Resultate von Gross, Zagier und Kolyvagin beruhen, versagt bei Rang größer als 1. Karl Rubin zeigte 1987 für Kurven mit komplexer Multiplikation, dass aus r ≥ 2 immerhin ord_{s=1}L(E,s) ≥ 2 folgt, und gab Beispiele mit nachweislich endlicher Tate-Shafarevich-Gruppe. Jan Nekovář bewies um 2000 beziehungsweise 2002 Paritätsresultate in einer Formulierung über Selmer-Gruppen.

Es gibt starke statistische und numerische Hinweise. Bhargava und Shankar begrenzten den durchschnittlichen algebraischen Rang nach oben durch 0,885; zusammen mit Skinner und Zhang wurden 66 Prozent aller elliptischen Kurven als Fälle nachgewiesen, die BSD erfüllen. Vermutet wird eine asymptotische 50:50-Verteilung der Ränge 0 und 1. Das schließt unendlich viele Kurven höheren Ranges nicht aus, macht sie aber asymptotisch selten. Für den durchschnittlichen Rang wurden außerdem die Grenzen 0,2068 für den Limes inferior und 0,885 für den Limes superior bewiesen.

Die LMFDB enthält alle 2.247.187 elliptischen Kurven mit Führer N < 360000. Creutz, Miller und Stoll verifizierten die starke Vermutung numerisch für alle Kurven mit N < 5000. Seit jüngerer Zeit werden auch neuronale Netze eingesetzt, um aus Führer und Frobenius-Spuren a_p den Rang vorherzusagen oder Kurven hohen Ranges zu erkennen. Numerische Evidenz ersetzt jedoch keinen Beweis.

Geschichte und offene Fragen

Birch und Swinnerton-Dyer begannen 1958 Berechnungen auf EDSAC-Computern und formulierten ihre Vermutung 1965. Ihr Ziel war eine zur Dirichletschen Klassenzahlformel analoge Theorie für elliptische Kurven, bei der der Wert einer analytischen Funktion arithmetische Invarianten kodiert. Frühere Grundlagen waren das geometrische Erzeugen rationaler Punkte, das bereits bei Diophantos erscheint, Fermats Methode des Abstiegs und der Satz von Mordell-Weil über die endliche Erzeugbarkeit von E(ℚ).

Trotz der bewiesenen Fälle r = 0 und r = 1 bleibt schon ein vollständiger Beweis für eine einzelne geeignete Kurve höheren Ranges außer Reichweite. Auch die Verteilung möglicher Ränge ist offen. Eine von Noam Elkies gefundene Kurve hat Rang mindestens 28; 2024 wurde eine Kurve mit Rang mindestens 29 gefunden. Unbekannt ist, ob elliptische Kurven beliebig hohen Rang besitzen. Eine Heuristik von Park, Poonen, Voight und Wood deutet dagegen darauf hin, dass es nur endlich viele Kurven mit Rang r ≥ 22 geben könnte.

Der Torsionsteil ist wesentlich besser verstanden: Nach Mazurs Satz ist E(ℚ)_tors isomorph zu ℤ/nℤ für 1 ≤ n ≤ 12 mit n ≠ 11 oder zu ℤ/2nℤ × ℤ/2ℤ für 1 ≤ n ≤ 4. Die Schwierigkeit von BSD liegt daher vor allem im freien Anteil ℤʳ und in Sha(E). Die Vermutung lässt sich schließlich auf abelsche Varietäten verallgemeinern, die höherdimensionale Analoga elliptischer Kurven sind.