Goldbachsche Vermutung

Kern der Goldbachschen Vermutung

Die Goldbachsche Vermutung ist eine bis heute unbewiesene Aussage der Zahlentheorie. Sie ist nach Christian Goldbach benannt und wurde von ihm am 7. Juni 1742 in einem Brief an Leonhard Euler formuliert. Als Hilbertsches Problem Nr. 8b gehört sie zu den bekanntesten ungelösten Problemen der Mathematik.

Sie verbindet Eigenschaften von Primzahlen mit der Addition natürlicher Zahlen und gehört damit zur additiven Zahlentheorie. Obwohl ihre Aussagen leicht formuliert werden können, sind Beweise besonders schwierig und benötigen fortgeschrittene Methoden der analytischen Zahlentheorie.

Starke Vermutung: zwei Primzahlen

Die starke oder binäre Goldbachsche Vermutung lautet: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.

Beispielsweise gilt 8 = 3 + 5. Die Aussage wurde bisher weder bewiesen noch widerlegt. Tomás Oliveira e Silva überprüfte ihre Gültigkeit mithilfe eines Volunteer-Computing-Projekts für alle Zahlen bis 4·10^{18}. Eine solche Überprüfung ist jedoch kein Beweis für beliebig große gerade Zahlen.

Im Jahr 2000 setzte der Verlag Faber & Faber für einen Beweis innerhalb von zwei Jahren eine Million US-Dollar aus. Da bis April 2002 kein Beweis einging, wurde das Preisgeld nicht ausgezahlt.

Schwache Vermutung: drei Primzahlen

Die schwache oder ternäre Goldbachsche Vermutung besagt: Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist Summe dreier Primzahlen.

Sie gilt, falls die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist. Außerdem war bereits durch den Satz von Winogradow gezeigt, dass sie für alle genügend großen Zahlen gilt. Am 13. Mai 2013 kündigte Harald Helfgott einen mutmaßlichen Beweis für alle Zahlen größer als 10^{30} an. Der Beweis wurde 2015 für die Buchreihe Annals of Mathematics Studies in Princeton akzeptiert, war aber nach dem Artikelstand 2021 noch nicht vollständig erschienen und keinem vollständigen Peer-Review unterzogen. Für alle Zahlen unterhalb 8,875·10^{30} wurde die Gültigkeit bereits mit Computerhilfe überprüft.

Helfgotts Beweis verwendet Siebmethoden, insbesondere das Große Sieb, die Kreismethode von Hardy-Littlewood und Exponentialsummen nach Winogradow. Aus der starken Vermutung würde die schwache folgen: Für eine ungerade Zahl u ist u = (u − 3) + 3. Ist u − 3 nach der starken Vermutung a + b mit Primzahlen a und b, dann ist u = a + b + 3 eine Summe dreier Primzahlen.

Goldbach-Zerlegungen

Eine Goldbach-Zerlegung ist die Darstellung einer geraden Zahl als Summe zweier Primzahlen. Sie muss nicht eindeutig sein: 18 = 7 + 11 = 5 + 13. Für größere gerade Zahlen wächst die Anzahl solcher Zerlegungen tendenziell; sie kann mit Computerunterstützung berechnet werden. Ein Gegenbeispiel zur starken Vermutung hätte keine Goldbach-Zerlegung, seine Anzahl läge also bei null.

Genau die vier Zahlen 10, 16, 36 und 210 haben die maximale Eigenschaft, dass für jede Primzahl p mit n/2 ≤ p < n auch n − p prim ist. Dann ist n = p + (n − p) stets eine Goldbach-Zerlegung. Keine Zahl n > 210 erfüllt noch die schwächere entsprechende Forderung für jede Primzahl p mit n/2 ≤ p < n − 1.

Wichtige verwandte Resultate

Mehrere Sätze nähern sich der Goldbachschen Vermutung an:

• Viggo Brun bewies 1920, dass jede genügend große gerade Zahl als Summe zweier Zahlen mit höchstens neun Primfaktoren darstellbar ist.
• Iwan Matwejewitsch Winogradow bewies 1937 die ternäre Vermutung für genügend große ungerade Zahlen; Juri Linnik gab 1946 einen anderen Beweis.
• Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow zeigte 1937, dass „fast alle“ geraden Zahlen Summen zweier Primzahlen sind. Das bedeutet: Die asymptotische Dichte dieser Zahlen innerhalb der geraden Zahlen ist 1.
• Chen Jingrun bewies 1966, dass jede hinreichend große gerade Zahl Summe einer Primzahl und eines Produkts von höchstens zwei Primzahlen ist.
• Olivier Ramaré bewies 1995, dass jede gerade Zahl Summe von höchstens sechs Primzahlen ist. Terence Tao zeigte 2012, dass jede ungerade Zahl größer als 1 Summe von höchstens fünf Primzahlen ist.
• Will Sawin und Mark Shusterman bewiesen 2022 die Goldbach-Vermutung für Funktionenkörper.