Toroid

Definition und Formen

Ein Toroid ist in der Mathematik eine Rotationsfläche mit einem Loch in der Mitte. Seine Rotationsachse verläuft durch dieses Loch und schneidet die Oberfläche nicht. Er entsteht, indem eine ebene Figur um eine Achse gedreht wird, die außerhalb der entstehenden Oberfläche liegt. Wird beispielsweise ein Rechteck um eine Achse parallel zu einer seiner Kanten gedreht, entsteht ein hohler Ring mit rechteckigem Querschnitt.

Ist die gedrehte Figur ein Kreis, heißt der entstehende Toroid Torus. Ein Donut ähnelt dagegen einem Volltorus, der durch das Drehen einer ausgefüllten Kreisscheibe entsteht; ein solcher Körper ist von der bloßen toroidalen Oberfläche zu unterscheiden.

Der Begriff „Toroid“ kann außerdem einen toroidalen Polyeder bezeichnen. In diesem Zusammenhang muss die Form nicht kreisförmig sein und kann beliebig viele Löcher besitzen. Ein Toroid mit g Löchern kann als Annäherung an die Oberfläche eines Torus mit dem topologischen Genus g ≥ 1 verstanden werden. Der Genus beschreibt hier die Anzahl der Löcher. Seine Euler-Charakteristik beträgt χ = 2(1 − g).

Allgemeine Berechnung

Der Umlaufradius R wird von der Mitte des gedrehten Querschnitts aus gemessen. Bei einem symmetrischen Querschnitt lassen sich Volumen und Oberfläche mithilfe seiner Fläche und seines Umfangs berechnen.

Ist A die Fläche des Querschnitts und C sein Umfang, gilt für das Volumen V: V = 2πRA

Für die Oberfläche des Toroids gilt: A = 2πRC

In den Formeln wird der Buchstabe A im Artikel sowohl für die Querschnittsfläche als auch für die Oberfläche verwendet; die jeweilige Bedeutung ergibt sich aus dem Zusammenhang.

Kreisförmiger Spezialfall

Bei einem kreisförmigen Toroid ist r der Radius des kreisförmigen Querschnitts und R der Radius der Gesamtform beziehungsweise der Umlaufradius.

Das Volumen beträgt: V = 2π²r²R

Die Oberfläche beträgt: A = 4π²rR

Diese Gleichungen sind die auf einen Kreisquerschnitt angewendeten allgemeinen Toroidformeln.