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Streudiagramm
Ein Streudiagramm, auch Punktwolke genannt (engl. scatter plot), ist die graphische Darstellung von beobachteten Wertepaaren zweier statistischer Merkmale.
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Grundidee und Zweck
Ein Streudiagramm, auch Punktwolke genannt (englisch scatter plot), ist eine grafische Darstellung von beobachteten Wertepaaren zweier statistischer Merkmale. Jedes Wertepaar wird als Punkt in ein kartesisches Koordinatensystem eingetragen. Die beiden Koordinaten eines Punktes stehen also für die Werte der beiden Merkmale. Die Punkte können mit unterschiedlichen Symbolen dargestellt werden.
Wichtig ist ein Streudiagramm, weil man am Muster der Punkte erkennen kann, ob und wie zwei Merkmale zusammenhängen. Solche Zusammenhänge heißen Korrelationen. Häufig sichtbare Muster sind Cluster, also Ballungen von Punkten, und lineare Strukturen, bei denen die Punkte ungefähr entlang einer Geraden liegen. Cluster können mit der Clusteranalyse untersucht werden. Lineare Korrelationen lassen sich besonders mit der Regressionsanalyse quantifizieren, also zahlenmäßig beschreiben.
Typische Anwendung
Ein Beispiel ist ein Streudiagramm, in dem die Merkmale „Länge“ und „Breite“ verschiedener Artillerieschiffe dargestellt werden. Die Schiffe sind zusätzlich in vier Klassen eingeteilt: Zerstörer, leichter Kreuzer, schwerer Kreuzer und Schlachtschiff. Den Klassen werden unterschiedliche Farben zugewiesen. So kann man auf einen Blick erkennen, wie Länge und Breite zusammenhängen und ob sich Gruppen von Schiffen unterscheiden.
Soll zusätzlich ein drittes metrisches Merkmal dargestellt werden, kann man die Größe der Symbole verändern. Ein metrisches Merkmal ist ein zahlenmäßig messbares Merkmal. Ein Diagramm, bei dem zusätzlich die Symbolgröße eine weitere Variable ausdrückt, heißt Blasendiagramm.
Diskrete Merkmale
Streudiagramme eignen sich im Allgemeinen vor allem für stetig verteilte Daten. Stetige Daten können viele Zwischenwerte annehmen. Bei diskret verteilten Merkmalen, also Merkmalen mit getrennten einzelnen Werten, können mehrere Beobachtungen genau am gleichen Koordinatenpaar liegen. Dann überlagern sich Punkte, und man sieht nicht mehr, wie viele Wertepaare dort tatsächlich vorhanden sind.
Für ordinalskalierte Merkmale gibt es dennoch Darstellungsmöglichkeiten. Ordinalskalierte Merkmale haben eine Rangordnung, zum Beispiel Noten. Eine Möglichkeit sind „Sonnenblumen“: An jedem Koordinatenpaar wird ein Kreis gezeichnet, und die Anzahl der Wertepaare an dieser Stelle wird durch Striche am Kreis dargestellt, sodass eine stilisierte Sonnenblume entsteht.
Eine andere Möglichkeit ist ein „Jittered Scatterplot“, auf Deutsch etwa „verwackeltes Streudiagramm“. Dabei werden kleine Zufallszahlen auf die Daten addiert, sodass gleiche Werte leicht auseinandergezogen werden und eine Punktwolke bilden. Die Werte liegen eigentlich übereinander; deshalb kann man sie als „pseudometrisch“ bezeichnen. Im Artikel wird dies an einer Evaluation einer Statistik-Vorlesung mit den Merkmalen „Stoff ist verständlich“ und „Gesamtnote Statistik“ mit Noten von 1 bis 4 erläutert.
Dot-Plot
Der Dot-Plot oder das Punktdiagramm wird als eindimensionales Streudiagramm bezeichnet. In ihm wird nur eine Variable auf der x-Achse oder auf der y-Achse dargestellt. Auch hier kann das Problem entstehen, dass man nur einen Datenpunkt sieht, obwohl sich dahinter mehrere oder viele Beobachtungen verbergen.
Ähnlich wie beim Sonnenblumen-Streudiagramm können Symbole die Häufigkeit anzeigen. Im historischen Beispiel der Pferdetritt-Daten von Bortkewitsch steht in einer Darstellung ein größerer Kreis für mehr Beobachtungen und ein kleinerer Kreis für weniger Beobachtungen. In einer anderen Darstellung wird für jeden Datenpunkt ein Kreis gezeichnet; wenn derselbe Wert mehrfach vorkommt, werden weitere Kreise neben den ersten Kreis gesetzt.
Eine weitere Möglichkeit ist, auf einer Achse den Beobachtungswert einzutragen und auf der anderen Achse einen zufälligen Wert zu wählen, zum Beispiel aus einer Gleichverteilung. Außerdem kann eine Dichteschätzung eingezeichnet werden. Ein Dot-Plot hilft dabei, die Verteilung einer Variablen zu erkennen, etwa wo Beobachtungen besonders dicht liegen oder ob sie sich nur auf wenige Werte verteilen.
Streudiagramm-Matrix
Eine Streudiagramm-Matrix wird bei einem multivariaten Datensatz verwendet, also bei Daten mit mehreren Variablen. Für einzelne Paare von Variablen werden jeweils Streudiagramme gezeichnet. Diese liegen auf beiden Seiten der Matrix-Diagonalen, die mit Text gefüllt sein kann.
Zu einem Variablenpaar gehören zwei Streudiagramme. Sie unterscheiden sich nur darin, welche Variable auf der x-Achse und welche auf der y-Achse steht. Die entsprechenden Punktwolken sind gespiegelt, aber nicht an der Matrix-Diagonalen selbst, sondern an ihren jeweiligen x=y-Linien. Diese Linien stehen senkrecht auf der Matrix-Diagonalen.
In Varianten der Streudiagramm-Matrix können statt gespiegelter Punktwolken auch weitere Informationen dargestellt werden, zum Beispiel Korrelationskoeffizienten oder Regressionsfunktionen. Auf der Diagonalen können nur Variablennamen stehen; möglich sind dort aber auch Informationen über einzelne Variablen, etwa Box-Plots oder Dichteschätzungen.
Grenzen der Matrix
Eine Streudiagramm-Matrix kann unübersichtlich werden, wenn zu viele Variablen dargestellt werden. Dann wird die Fläche für jedes einzelne Streudiagramm zu klein. Bei p Variablen zeigt die Streudiagramm-Matrix genau p(p-1)/2 unterschiedliche Projektionen der multivariaten Daten, wobei die gespiegelten Darstellungen nicht mitgezählt werden. Im Beispiel mit p=5 ergeben sich daher 5·4/2=10 unterschiedliche Projektionen.
Die Brüder Tukey schlugen Maßzahlen vor, die zusammenfassend Scagnostics genannt werden. Sie beschreiben Eigenschaften von Punktwolken. Ein weiterer Nachteil ist, dass eine interessante Datenstruktur nicht unbedingt in den Projektionen der Streudiagramm-Matrix sichtbar sein muss. In solchen Fällen können stattdessen die Grand Tour oder Projection-Pursuit-Verfahren verwendet werden.
