Semiempirie

Grundidee und Ablauf

Semi-Empirie oder Semi-Empirik ist ein Hybridansatz in der Wissenschaft: Sie verbindet etablierte Theorie mit gezielt erhobenen Messdaten (Empirie). Sie ist besonders nützlich, wenn die grundlegenden logischen oder mathematischen Zusammenhänge bekannt sind, aber genaue Werte von Parametern in einer Formel fehlen.

Kennzeichnend sind drei Punkte: Theorie und Beobachtung werden kombiniert, der theoretische Rahmen kann anhand von Messungen angepasst werden und Theoriearbeit sowie empirische Forschung wechseln sich iterativ ab. Zunächst beschreibt man den Sachverhalt mit einem theoretisch gültigen Formalismus. Zentrale Teile werden zu wenigen Parametern zusammengefasst. Diese Parameter werden durch Experimente so bestimmt, dass das Modell möglichst gut zu den Messdaten passt.

Erreicht das Modell innerhalb seiner Grenzen eine ausreichende Vorhersagekraft, ist der Prozess abgeschlossen. Andernfalls wird die theoretische Grundlage verfeinert und die Messung meist mit mehr Parametern wiederholt.

Bindungsenergie von Atomkernen

Die semi-empirische Bethe-Weizsäcker-Formel beschreibt die Bindungsenergie eines Atomkerns mit fünf Bestandteilen. Sie beruht auf dem Tröpfchenmodell. Bei angenommener konstanter Dichte bedeutet ein größeres Volumen grundsätzlich viele Bindungen durch die starke Kernkraft. An der Oberfläche gibt es wegen weniger Nachbarn weniger dieser Kräfte. Die Coulomb-Abstoßung der Protonen schwächt die Bindungsenergie. Ein Symmetrie-Korrekturterm berücksichtigt das ungleiche Verhältnis von Protonen und Neutronen, besonders bei großen Atomen. Der Paarungsterm berücksichtigt, dass Kerne mit gerader Protonen- und Neutronenzahl signifikant stabiler sind.

Die Grundform lautet: E_Bindung = E_Volumen − E_Oberfläche − E_Coulomb − E_Symmetrie ± E_Paarung.

Ausgedrückt durch Massenzahl A, Protonenzahl Z und Neutronenzahl N lautet sie: E_Bindung = a_V·A − a_O·A^(2/3) − a_C·Z·(Z−1)·A^(−1/3) − a_S·(N−Z)²/(4A) + Paarungsterm.

Der Paarungsterm ist +a_P·A^(−1/2) für gg-Kerne, 0 für ug- und gu-Kerne und −a_P·A^(−1/2) für uu-Kerne. Die fünf Gewichtungsparameter a_V, a_O, a_C, a_S und a_P sind theoretisch nicht vorgegeben.

Empirische Anpassung der Kernformel

Die fünf Parameter werden experimentell bestimmt, indem man die Bindungsenergien von mindestens fünf Atomkernen untersucht. Deshalb schwanken die in der Literatur angegebenen Zahlen je nach den verwendeten Kernen.

Mit a_V ≈ 15,67 MeV, a_O ≈ 17,23 MeV, a_C ≈ 0,714 MeV, a_S ≈ 93,15 MeV und a_P ≈ 11,2 MeV besitzt das Modell eine gute Vorhersagekraft für mittelgroße bis große Atomkerne, deren Atomzahl nicht zu den Magischen Zahlen gehört.

Ausrollversuch bei Landfahrzeugen

Beim Ausrollen eines Landfahrzeugs in turbulenter Luftströmung wirken vor allem konstante Kräfte und der geschwindigkeitsabhängige Luftwiderstand. Zu den konstanten Kräften gehören beispielsweise Rollreibung von Reifen und Kugellagern sowie die Hangabtriebskraft einer geneigten Teststrecke.

Die Rollreibung wird je Reifen und Kugellager mit F_R = μ·F_N berechnet; die lokale Normalkraft ist F_N = m_lokal·g. In der Praxis sind Reibungskoeffizient μ und Belastung F_N nur grob abschätzbar. Die Hangabtriebskraft lautet F_HA = F_G·sin α = m·g·sin α; der Neigungswinkel α schwankt außerhalb von Laborbedingungen stark.

Der Luftwiderstand steigt quadratisch mit der Geschwindigkeit: F_W = 1/2·c_W·A·ρ·v². Dabei sind Strömungswiderstandskoeffizient c_W und Stirnfläche A zum Teil unbekannt, die Luftdichte ρ kann Wetterdaten entnommen werden. Außerdem muss v vektoriell um die Windgeschwindigkeit bereinigt werden. Konstante Kräfte fasst man als R zusammen, die Einflüsse auf den Luftwiderstand als L: F_ges = F_R + F_HA + F_L(v) = R + L·v².

Lässt man ein Fahrzeug aus möglichst hoher Geschwindigkeit ausschließlich durch diese Kräfte ausrollen, lassen sich R und L aus Zeit-Orts-Messdaten bestimmen, etwa mit der Methode der kleinen Schritte. Für ein E-Mountainbike ergeben sich beispielsweise R ≈ 5,5 N und L ≈ 0,22 N/(m/s)². Daraus sind Rückschlüsse auf Reibungskoeffizienten von Reifen und Kugellagern sowie auf c_W möglich.

Weitere Verfahren

Weitere genannte semi-empirische Verfahren sind die „Zero Differential Overlap“-Approximation nach Karl Jug sowie allgemeine Näherungen der Hartree-Fock-Matrix, zum Beispiel die Hückel-Näherung.