Rossby-Welle

Grundprinzip und Bedeutung

Rossby-Wellen, auch planetarische Wellen, sind großräumige Wellenbewegungen in der Erdatmosphäre oder im Ozean. Ihr Grundprinzip ist die Erhaltung der potenziellen Vortizität, also einer Größe, die die Rotation eines Flüssigkeitsteilchens mit der Höhe beziehungsweise Dicke seiner Flüssigkeitssäule verbindet. Wird ein Luft- oder Wasserteilchen auf einer rotierenden Kugel quer zur Rotationsachse verschoben, ändert sich mit der geografischen Breite der Coriolisparameter f = 2Ω sin φ. Dadurch entsteht eine rückstellende Wirkung: Das Teilchen führt eine meridionale, also nord-südliche, Schwingung aus. Das Wellenmuster besitzt dabei eine nach Westen gerichtete Phasengeschwindigkeit.

Rossby-Wellen sind wichtig, weil sie großräumige Wetterabläufe, die windgetriebene Ozeanzirkulation, mesoskalige Wirbel und die Ausbreitung von Ozean-Klima-Signalen wie ENSO-Ereignissen beeinflussen. Theoretisch wurden planetarische Wellen bereits 1897 von Sydney Samuel Hough für eine rotierende Kugel beschrieben. Carl-Gustaf Rossby entwickelte später eine Näherungslösung in kartesischen Koordinaten.

Rossby-Wellen in der Atmosphäre

Atmosphärische Rossby-Wellen erscheinen besonders deutlich als mäandrierender Verlauf des Polarfrontjetstreams. Dieser starke Höhenwind verläuft an der Grenze zwischen kalter Polarluft und deutlich wärmerer Luft der Ferrel-Zelle. Die Wellen sind auf der Nordhalbkugel stärker ausgeprägt als auf der Südhalbkugel, unter anderem weil dort kontinentale Hindernisse größere Verwirbelungen verursachen.

Jetstreams entstehen durch globale Ausgleichsbewegungen zwischen Gebieten unterschiedlicher Temperatur und unterschiedlichen Luftdrucks. Weil die thermischen Gefälle unregelmäßig sind, verläuft die Grenze zwischen warmer Subtropenluft und kalter Polarluft nicht gerade, sondern in Wellen. Ihre tatsächliche Faltung ist uneinheitlich und erstreckt sich nicht ständig um die gesamte Erdhalbkugel.

Der mäandrierende Jetstream beeinflusst auch tiefere Luftschichten. In Richtung Pol scheren dynamische Tiefdruckgebiete oder Zyklonen aus; sie liegen bei den sogenannten Trögen und drehen sich gegen den Uhrzeigersinn. In Richtung Äquator entstehen Hochdruckgebiete unter den sogenannten Rücken, die im Uhrzeigersinn drehen. Tiefdruckgebiete wie das Islandtief prägen mit ihren Frontensystemen den typischen Witterungswechsel in Mitteleuropa.

Ein 2014 beschriebener Resonanzmechanismus, der Wellen in mittleren Breiten festhält und verstärkt, wurde mit der seit der Jahrtausendwende gestiegenen Zahl sommerlicher Wetterextreme in Verbindung gebracht. Als Beispiel nennt der Artikel die Rekord-Hitzewelle 2010 in Osteuropa mit Ernteeinbußen und schweren Waldbränden um Moskau.

Entstehung und mathematisches Modell im Ozean

Ozeanische Rossby-Wellen sind subinertiale Bewegungen: Ihre zeitliche Veränderung ist langsam gegenüber der durch die Erdrotation bestimmten Trägheitsbewegung. Nach der geostrophischen Anpassung befinden sie sich näherungsweise im quasigeostrophischen Gleichgewicht, bei dem Druckgradient und Corioliskraft fast ausgeglichen sind. Weil sich der Coriolisparameter mit der Breite ändert, verschwindet die Divergenz der Strömung jedoch nicht vollständig. Das Druckfeld verändert sich daher langsam und breitet sich als Rossby-Welle aus.

Im kartesischen Betaplan-Modell wird die Breitenabhängigkeit linear angenähert: f(y) = f(φ₀) + βy, β = 2Ω cos φ₀/R. Dabei sind Ω die Winkelgeschwindigkeit der Erde, R ihr Radius und β der meridionale Gradient des Coriolisparameters an der Referenzbreite φ₀. Für einen reibungsfreien Ozean mit ebener Bodentiefe H gelten die horizontalen Bewegungsgleichungen ∂u/∂t − fv = −g ∂η/∂x, ∂v/∂t + fu = −g ∂η/∂y und die Kontinuitätsgleichung ∂η/∂t + H(∂u/∂x + ∂v/∂y) = 0. Hier sind u und v die horizontalen Geschwindigkeitskomponenten, η die Auslenkung der Meeresoberfläche und g die Schwerebeschleunigung.

Die Erhaltung der potenziellen Vortizität kann allgemein als d/dt [(f + ζ)/(H + η)] = 0 geschrieben werden, wobei ζ = ∂v/∂x − ∂u/∂y die vertikale Komponente der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes ist. Linearisiert gilt ∂/∂t(ζ/f − η/H) + (β/f)v = 0. Die Näherung setzt η ≪ H und ζ ≪ f voraus. Die zweite Bedingung entspricht u/c ≪ 1, wobei c² = gH die Phasengeschwindigkeit einer langen Welle auf der nichtrotierenden Erde ist. Sie gilt sicher für barotrope Rossby-Wellen, aber nicht immer für barokline Wellen in Westrandströmen wie dem Golfstrom.

Nach dem Herausfiltern schneller Poincaré-Wellen lautet die Rossby-Wellengleichung f² ∂η/∂t − c² ∂/∂t(∂²η/∂x² + ∂²η/∂y²) − βc² ∂η/∂x = 0.

Ausbreitung, Geschwindigkeit und Frequenz

Für eine Welle η = η₀ e^{i(ωt−kx−ly)} ergibt sich die Dispersionsbeziehung ω = −βR_R · [kR_R/(1 + (k² + l²)R_R²)], mit dem Rossby-Radius R_R = c/f. k und l sind die zonale beziehungsweise meridionale Wellenzahl. Der barotrope Rossby-Radius R_R0 liegt im Ozean in der Größenordnung von 2000 km; der erste barokline Rossby-Radius R_R1 beträgt in mittleren Breiten einige 10 km. Der barotrope Modus bewegt sich mit vielen Metern pro Sekunde und durchquert ein typisches Ozeanbecken in wenigen Wochen. Dynamisch besonders wichtige barokline Moden erreichen nur etwa 1–10 cm/s und benötigen Jahre.

Rossby-Wellen sind im Allgemeinen dispersiv, das heißt, ihre Ausbreitung hängt von Frequenz und Wellenlänge ab. Die Phasenpropagation kann nach Norden oder Süden erfolgen, zonal jedoch nur nach Westen; insgesamt liegt sie im westlichen Halbraum. Die maximale Frequenz tritt bei l_max = 0 und k_max = −1/R_R auf: ω_max = ½βR_R = ½βc/f. Sie nimmt polwärts ab. Eine barokline Rossby-Welle mit einer Periode von einem Jahr kann deshalb nur ungefähr äquatorwärts von 45° Breite existieren.

Die Phasengeschwindigkeit beschreibt die Bewegung eines Wellenberges; dessen Höhe beträgt an der Meeresoberfläche nur einige Zentimeter, in der Thermokline meist mehrere Meter. Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt dagegen die Bewegung von Wellenpaketen und damit den Energietransport. Sie kann in jede Richtung weisen und liegt typischerweise bei wenigen Zentimetern pro Sekunde. Ihre meridionale Komponente ist stets derjenigen der Phasengeschwindigkeit entgegengesetzt. Kurze Wellen mit k² + l² > R_R⁻² transportieren Energie ostwärts, lange Wellen mit k² + l² < R_R⁻² westwärts.

Für l = 0 erreichen lange Wellen bei k = 0 die maximale westwärtige Gruppengeschwindigkeit c_gr,max,1 = −βR_R². Ein zweites Maximum liegt bei k²R_R² = 3 und beträgt ostwärts c_gr,max,2 = βR_R²/8. Nach einer örtlich begrenzten Druckstörung läuft daher eine schnelle Front langer Wellen nach Westen und eine achtmal langsamere Front kurzer Wellen nach Osten. Die charakteristische Zeit zum Durchlaufen einer Küstenzone von der Breite eines Rossby-Radius ist T_R = 1/(βR_R): in tropischen Breiten wenige Tage, in subtropischen rund drei Wochen und in subpolaren etwa zwei Monate. Diese ungleichen Geschwindigkeiten erzeugen eine Ost-West-Asymmetrie.

Das quasigeostrophische Geschwindigkeitsfeld verläuft annähernd parallel zu Wellenkämmen und Wellentälern. Kleine ageostrophische Anteile sind äquatorwärts stärker als polwärts. Dadurch entsteht westlich eines Hochdruckrückens Konvergenz, der Druck steigt dort, und das Wellenmuster verlagert sich nach Westen. Die planetare Divergenz verschwindet nur an den Polen, wo β = 0 ist, oder bei Druckfeldern ohne zonalen Gradienten.

Energie und stationäre Ozeanzirkulation

Die potenzielle Energiedichte einer Rossby-Welle ist E_p = (ρ/2)g·Mittelwert(η²). Die kinetische Energiedichte der gesamten Wassersäule lautet E_k = (ρ/2)H[Mittelwert(u²) + Mittelwert(v²)] = (ρ/2f²)g²H(k² + l²)·Mittelwert(η²). Damit gilt E_k/E_p = (gH/f²)(k² + l²) = κ_H²R_R², wobei κ_H die horizontale Wellenzahl ist. Bei Wellenlängen, die viel größer als der Rossby-Radius sind, überwiegt die potenzielle Energie deutlich. Bei maximaler Frequenz sind beide Energiedichten gleich; bei wesentlich kürzeren Wellenlängen überwiegt die kinetische Energie.

Rossby-Wellen ermöglichen die Einstellung einer stationären windgetriebenen Ozeanzirkulation. Der Wind erzeugt über den Ekman-Transport zunächst anwachsende Hochdruckrücken oder Tiefdruckrinnen. Am Ostufer lösen diese eine westwärts laufende Front langer Rossby-Wellen aus. Vor der Front wird die Divergenz des Ekman-Transports durch Auftrieb oder Downwelling ausgeglichen, sodass die Druckstörung weiter wächst. Hinter der Front gleicht die planetare Divergenz der meridionalen Ozeanströmung den Ekman-Transport aus: Die Ekman-Bilanz geht in die stationäre Sverdrup-Bilanz über.

Die Einstellungszeit entspricht der Laufzeit der Wellenfront vom Ostufer bis zum betrachteten Ort. Sie wächst linear nach Westen, weshalb Druckstörungen im westlichen Becken länger anwachsen. Dies erklärt die Asymmetrie zwischen langsamen, breiten Ostrandströmungen und schmalen, intensiven Westrandströmungen. Für die vollständige Ausbreitung vom Ost- zum Westufer werden in äquatorialen Breiten Monate, in subtropischen und höheren Breiten ein bis mehrere Jahre benötigt.

Beobachtung ozeanischer Rossby-Wellen

Ozeanische Rossby-Wellen werden durch räumliche Änderungen des Oberflächenwinds und durch Luftdruckschwankungen angeregt oder von meridional verlaufenden Küsten abgestrahlt. Östliche Ufer senden lange, westliche Ufer kurze Rossby-Wellen aus. Ihre Laufzeit von Ost nach West bestimmt, wie schnell sich die Ozeanzirkulation an ein verändertes Windmuster anpasst.

Direkte Nachweise waren lange schwierig, weil die Wellen sehr große räumliche und zeitliche Skalen besitzen. Emery und Magaard (1976) sowie White (1977) wiesen barokline planetare Wellen anhand von Veränderungen der Isothermentiefe im Ozeaninneren nach; diese Veränderungen lagen in der Größenordnung von 10 m. Die damalige räumliche und zeitliche Abtastung reichte aber noch nicht zur vollständigen Beschreibung der Wellenmuster.

Satellitenaltimeter ermöglichten später die Messung ihrer wenige Zentimeter hohen Signatur an der Meeresoberfläche. Dafür sind ausreichende Höhengenauigkeit, lange und passend abgetastete Zeitreihen sowie die Trennung von anderen Ursachen der Meeresspiegeländerung erforderlich. Der Start von TOPEX/Poseidon 1992 leitete eine neue Beobachtungsära ein. Seine Umlaufbahn wiederholte sich exakt alle 10 Tage und war so ausgelegt, dass durch Gezeiten verursachtes Aliasing im Skalenbereich der Rossby-Wellen vermieden wurde. Chelton und Schlax zeigten 1996, dass Rossby-Wellen im Weltozean allgegenwärtig sind und sich in mittleren Breiten meist schneller bewegen als von der linearen Theorie vorhergesagt. Jason-1 und Jason-2 setzten die Messungen ab 2001 beziehungsweise 2008 fort. Eine um barokline Hintergrundströmung und Bodentopographie erweiterte Theorie stimmt weitgehend mit den Beobachtungen überein.

Satelliten erfassen Rossby-Wellen außerdem über die Meeresoberflächentemperatur. Diese thermische Signatur ist weniger direkt als die Höhenmessung, zeigt aber Skalen der Wärmewechselwirkung zwischen Ozean und Atmosphäre und ist damit für Klimaschwankungen bedeutsam. Ähnliche Muster in der Chlorophyll-a-Konzentration deuten auf Einflüsse auf marine Ökosysteme hin. Mögliche Mechanismen sind der horizontale Transport durch die Partikelbewegung sowie vertikale Flüsse von Wärme, Licht und Nährstoffen, welche die von der Rossby-Dynamik beeinflusste Deckschicht verändern.