Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Reuleaux-Dreieck
Das Reuleaux-Dreieck ist das nach dem Kreis einfachste Beispiel eines Gleichdicks („Kurve konstanter Breite“). Der Abstand jedes Punktes einer Seite vom …
Inhalt4 Abschnitte
Definition und Konstruktion
Das Reuleaux-Dreieck ist nach dem Kreis das einfachste Beispiel eines Gleichdicks, also einer Kurve konstanter Breite. Der Abstand jedes Punktes einer Seite vom gegenüberliegenden Eckpunkt ist konstant. Diese Breite bleibt auch erhalten, wenn die Figur um ihren Flächenmittelpunkt gedreht wird.
Zur Konstruktion beginnt man mit einem gleichseitigen Dreieck. Um jeden seiner drei Eckpunkte zeichnet man einen Kreis, der durch die beiden jeweils gegenüberliegenden Eckpunkte verläuft. Die gemeinsame Fläche, also die Schnittmenge der drei Kreise, ist das Reuleaux-Dreieck.
Nach dem Blaschke-Lebesgue-Theorem besitzt das Reuleaux-Dreieck unter allen Gleichdicken die kleinste Fläche. Es lässt sich zu regelmäßigen Bogenvielecken verallgemeinern.
Berechnung des Flächeninhalts
Das gleichseitige Dreieck ABC, das zur Konstruktion verwendet wird, habe die Seitenlänge r. Sein Flächeninhalt ist
A_ABC = (√3/4)r².
Zusätzlich zu diesem Dreieck besteht das Reuleaux-Dreieck aus drei gleichen Kreissegmenten. Ein Kreissegment ist eine Fläche, die von einem Kreisbogen und der zugehörigen Sehne begrenzt wird. Der Öffnungswinkel jedes Segments beträgt
θ = π/3 rad,
also ein Sechstel eines Vollkreises beziehungsweise 60°.
Für den Flächeninhalt A_s eines Kreissegments gilt:
A_s = (1/2)r²(θ − sin θ) = (π/6 − √3/4)r².
Der gesamte Flächeninhalt A_R ergibt sich aus dem gleichseitigen Dreieck und den drei Kreissegmenten:
A_R = 3A_s + A_ABC = (1/2)(π − √3)r².
Umfang
Die Seitenlänge r des zugrunde liegenden gleichseitigen Dreiecks ABC entspricht zugleich der konstanten Breite des Reuleaux-Dreiecks. Sein Umfang U beträgt
U = πr.
Verallgemeinerung im Raum
Eine dreidimensionale verwandte Form ist das Reuleaux-Tetraeder. Es entsteht als Schnittmenge von vier Kugeln mit dem Radius s. Die Mittelpunkte dieser Kugeln liegen auf den Ecken eines regelmäßigen Tetraeders, dessen Seitenlänge ebenfalls s beträgt.
Anders als beim Reuleaux-Dreieck sind beim Reuleaux-Tetraeder nicht alle Durchmesser gleich lang. Insbesondere ist der Durchmesser durch zwei Punkte, die jeweils in der Mitte zweier gegenüberliegender Kanten liegen, größer als s. Der Abstand dieser Punkte beträgt
(√3 − √2/2) · s ≈ 1,0249 · s.
