Reuleaux-Tetraeder – einfach erklärt

Grundform und Aufbau

Das Reuleaux-Tetraeder ist die Schnittmenge von vier Kugeln mit Radius s. Die Mittelpunkte dieser Kugeln liegen an den vier Ecken eines regelmäßigen Tetraeders mit Seitenlänge s. Die Ecken des erzeugenden regelmäßigen Tetraeders sind zugleich die vier Ecken des Reuleaux-Tetraeders.

Wie das erzeugende Tetraeder besitzt die Form vier Ecken, vier Flächen und sechs Kanten. Anders als bei einem ebenflächigen Tetraeder bestehen die Flächen aus Kugelsegmenten und die Kanten aus Kreissegmenten. Es ist das dreidimensionale Gegenstück zum Reuleaux-Dreieck.

Breite und Volumen

Im Unterschied zum Reuleaux-Dreieck ist das Reuleaux-Tetraeder kein Körper konstanter Breite. Die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten haben nämlich die Entfernung

(√3 − √2/2)s ≈ 1,0249s.

Sein Volumen beträgt

s³/12 · (3√2 − 49π + 162 tan⁻¹√2) ≈ 0,422s³.

Invertierte Form

Ein Reuleaux-Dreieck kann invertiert werden, wenn die Kreise das gleichseitige Dreieck nicht erweitern, sondern verkleinern. Ein entsprechend invertierter Reuleaux-Tetraeder kann jedoch nicht mit Kugeln desselben Radius wie beim nicht invertierten Reuleaux-Tetraeder entstehen: Die Überschneidung der vier Kugeln würde das Tetraeder vollständig entfernen.

Werden Kugeln mit größerem Radius verwendet, entsteht dagegen eine Form, die wie ein invertiertes Reuleaux-Tetraeder aussieht. Als Beispiel wird ein Hennig-Reuleaux-Tetraeder mit dem doppelten Radius des zugrunde liegenden Reuleaux-Tetraeders genannt.

Meißner-Körper

Ernst Meissner und Friedrich Schilling zeigten 1911 und 1912, wie sich ein Reuleaux-Tetraeder zu einem Körper konstanter Breite abändern lässt. Dazu werden drei seiner Kanten, die aus Kreissegmenten bestehen, durch Flächen ersetzt. Diese Flächen sind Teile von Rotationskörpern.

Die Achse eines solchen Rotationskörpers ist eine Kante des erzeugenden Tetraeders. Seine erzeugende Kurve ist ein Kreissegment. Dieses entsteht, wenn das Reuleaux-Tetraeder mit den fortgesetzten Seiten des erzeugenden Tetraeders geschnitten wird. Es gibt zwei topologisch verschiedene Meißner-Körper: Man ersetzt entweder drei Kanten mit gemeinsamer Ecke oder drei Kanten, die ein Dreieck bilden.

Tommy Bonnesen und Werner Fenchel vermuteten 1934, dass Meißner-Körper unter den Körpern konstanter Breite das kleinste Volumen besitzen. Ein Beweis dafür ist laut Kawohl und Weber (2011) weiterhin offen. Campi et al. zeigten 1996 dagegen, dass der Rotationskörper konstanter Breite mit minimalem Volumen entsteht, indem ein Reuleaux-Dreieck um eine seiner Symmetrieachsen rotiert wird.