Reaktionsdiffusionsgleichung

Grundidee und Gleichung

Reaktionsdiffusionsgleichungen (RD-Gleichungen) beschreiben Prozesse, in denen zwei Wirkungen gleichzeitig auftreten: eine lokale Wechselwirkung oder Reaktion und die räumliche Diffusion. Diffusion bedeutet hier die Ausbreitung einer Größe im Raum. Beschrieben wird die zeitliche Änderung einer Größe u, etwa einer Stoffmenge, Abundanz oder Konzentration:

∂u/∂t = f(u) + D · ∂²u/∂x².

RD-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen zweiten Grades und haben die Form von Geschwindigkeitsgesetzen. u hängt von der Zeit t und vom Ort x ab. Sollen mehrere miteinander wechselwirkende Stoffe erfasst werden, kann u ein Vektor sein; die Gleichung wird dann als Matrix-Gleichung aufgefasst.

Der Reaktionsterm f(u) beschreibt die lokale Dynamik. Ohne ihn hat die Gleichung die Form der Wärmeleitungsgleichung. Der Term D · ∂²u/∂x² beruht auf dem 2. Fickschen Gesetz und beschreibt die Diffusion. D ist der Diffusionskoeffizient. Gibt es zusätzlich einen gerichteten Transportprozess, also Konvektion, muss ein Konvektionsterm ergänzt werden, analog zur Konvektions-Diffusions-Gleichung.

Bedeutung und Anwendungen

Ein chemisches Beispiel sind Modelle der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ-Reaktion). Räumliche Muster entstehen dabei, weil eine lokal oszillierende chemische Reaktion mit Diffusion gekoppelt ist. In der Biologie lassen sich räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen beschreiben; der Interaktionsterm hat dabei oft die Form einer logistischen Kolmogorov-Gleichung.

In Technischer Chemie und Maschinenbau werden Systeme untersucht, in denen Reaktion, Diffusion und Konvektion gemeinsam vorkommen. Dieser Bereich wird Makrokinetik genannt. Anwendungen sind die Auslegung chemischer Reaktoren und technische Verbrennungsvorgänge.

Seit Alan Turing sind RD-Gleichungen außerdem für die mathematische Theorie der Morphogenese in der Entwicklungsbiologie wichtig, insbesondere beim Turing-Mechanismus. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten dienen zur Modellierung lokalisierter teilchenartiger Strukturen, die dissipative Solitonen genannt werden. Solche Strukturen werden beispielsweise bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der BZ-Reaktion und in Halbleiter-Gasentladungssystemen beobachtet. Auch chemische Wellen und die Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit RD-Gleichungen beschrieben.

Spezielle Gleichungen

Spezialformen werden nach dem Reaktionsanteil f(u) unterschieden:

• Fisher-Gleichung: f(u) = u · (1 − u). Sie wird in der Populationsdynamik verwendet. Ohne Diffusion wäre sie die Differentialgleichung für die Logistische Funktion.
• KPP-Gleichung: f(1) = f(0) = 0, f(u′) > 0 und df/du(u′) < df/du(0) für 0 < u′ < 1. Die Fisher-Gleichung und die Newell-Whitehead-Gleichung sind Spezialfälle der KPP-Gleichung.
• Seldowitschgleichung oder Zeldovich-Gleichung: f(u) = u² · (1 − u), zum Beispiel für Verbrennungsvorgänge.
• Newell-Whitehead-Gleichung oder Amplituden-Gleichung: f(u) = u(1 − u²); sie wird bei der Rayleigh-Bénard-Konvektion angewandt.
• Nagumo-Gleichung: f(u) = u · (1 − u) · (u − α) mit 0 < α < 1. Sie beschreibt die Ausbreitung von Nervenpulsen in einem Axon.

Weitere Beispiele sind die Poröse-Medien-Gleichung und die Burgersgleichung.

Teilchenmodelle

Für eine detailgetreue Beschreibung von Reaktionsdiffusionssystemen können Teilchenmodelle eingesetzt werden, etwa SRSim oder ReaDDy. Ein genannter Algorithmus ist Reversible interacting-particle reaction dynamics.