Quantengatter

Grundidee und mathematische Beschreibung

Quantengatter sind die elementaren Operationen eines Quantencomputers. Sie verändern und verknüpfen Quantenzustände von Qubits und bilden damit die Grundbausteine für Quantenalgorithmen. Anders als der Name nahelegt, sind sie meist keine einzelnen Bauelemente wie Transistoren, sondern zeitlich steuerbare Wechselwirkungen: Qubits wechselwirken miteinander oder mit ihrer Umgebung, etwa über Spin, Photonen oder elektrische Ladungen.

Mathematisch ist ein Quantengatter eine unitäre Transformation U. Auf einen Zustand Ψ angewendet, erzeugt sie den neuen Zustand UΨ. „Unitär“ bedeutet hier insbesondere, dass die Normierung der Wellenfunktion erhalten bleibt: |UΨ|² = |Ψ|². Deshalb sind Quantengatter grundsätzlich reversibel: Zu jeder Gatterwirkung gibt es ein anderes Quantengatter, das sie rückgängig machen kann.

Matrizen und Schaltkreise

Zur Berechnung werden Quantengatter als quadratische Matrizen, also lineare Transformationen von Vektoren, beschrieben. Üblich ist die Rechenbasis, deren Zustände klassischen Bits entsprechen. Für zwei Qubits lautet sie |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩. Die Quantenzustände werden durch Spaltenvektoren dargestellt.

Das SWAP-Gatter vertauscht zwei Qubits und hat in dieser Basis die Matrix (1 0 0 0; 0 0 1 0; 0 1 0 0; 0 0 0 1). Für Gatter mit n > 3 wird die Matrixdarstellung jedoch schwer überschaubar. Daher werden Quantengatter als Schaltsymbole dargestellt und zu Quantenschaltkreisen verbunden; jedes Symbol steht für eine unitäre Operation. Die graphische Standarddarstellung geht auf eine Arbeit von Adriano Barenco, Charles Bennett, Richard Cleve, David P. DiVincenzo, Norman Margolus, Peter Shor, Tycho Sleator, John A. Smolin und Harald Weinfurter von 1995 zurück und basiert auf Richard Feynmans Grundmodell eines Quantencomputers von 1986.

Universelle Gattermengen

Ein skalierbarer Quantencomputer soll einen universellen Satz von Quantengattern ausführen können. Eine Gattermenge heißt universell, wenn jede unitäre Transformation U als Produkt ihrer Gatter dargestellt oder durch ein solches Produkt beliebig genau approximiert werden kann. Dafür muss ein Computer einzelne Qubits mit 1-Qubit-Gattern an beliebige Positionen der Bloch-Kugel bewegen und durch ein Mehr-Qubit-Gatter Verschränkung erzeugen können.

CNOT zusammen mit allen 1-Qubit-Gattern ist universell; außerdem bildet fast jedes Zwei- oder Mehr-Qubit-Gatter allein eine universelle Menge. Dabei müssen die Gatter auf beliebige Qubit-Kombinationen anwendbar sein, etwa CNOT mit Kontroll-Qubit i und Zielqubit j. Häufig verwendet wird die diskrete Menge aus CNOT, Hadamard-Gatter H und π/8-Gatter T. H erzeugt gleichgewichtete Superpositionen: H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 und H|1⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2. T erzeugt eine relative Phase von π/4: T|0⟩ = |0⟩ und T|1⟩ = e^(iπ/4)|1⟩. Diese Menge eignet sich für fehlertolerante Implementierung mit Quantenfehlerkorrektur, aber die Approximation einer allgemeinen N-Qubit-Operation benötigt im Allgemeinen exponentiell viele Gatter in N.

Gatter für ein, zwei und drei Qubits

Ein 1-Qubit-Gatter kann formal als Rotation eines Spin-½-Zustands auf der Bloch-Kugel verstanden werden. Das Rotationsgatter R⃗n(θ) = exp[−iθ n⃗·σ⃗] rotiert um die Achse n⃗ und den Winkel θ. Wichtige Fälle sind das NOT- oder X-Gatter als Rotation um 180° um die x-Achse mit NOT|0⟩ = |1⟩ und NOT|1⟩ = |0⟩, das Z-Gatter als Rotation um 180° um die z-Achse mit Z|0⟩ = |0⟩ und Z|1⟩ = −|1⟩ sowie das Hadamard-Gatter.

Zwei-Qubit-Gatter benötigen eine Wechselwirkung zwischen den Qubits, bei Spin-Qubits beispielsweise eine Austauschwechselwirkung. Das zentrale Beispiel ist CNOT: Das erste Qubit ist Kontroll-Qubit, das zweite Ziel-Qubit; das Ziel wird genau dann invertiert, wenn das Kontroll-Qubit |1⟩ ist. Das XX-Gatter verschränkt ein Qubit-Paar, SWAP vertauscht ein Qubit-Paar. Da Gatter mit mehr als zwei Eingängen technisch deutlich komplexer sind, werden meist 1- und 2-Qubit-Gatter genutzt.

Zu den 3-Qubit-Gattern gehören Toffoli, Controlled-SWAP oder Fredkin, CCZ, Peres, RCCX, Margolus und CiSwap. Beim Toffoli-Gatter wird das Ziel-Qubit nur negiert, wenn beide Kontroll-Qubits den Zustand 1 besitzen. Es kann AND, XOR und NOT ausführen und ist universell einsetzbar. CCZ bewirkt einen Phasenflip des Ziel-Qubits, wenn alle Kontroll-Qubits den Zustand 1 haben.

Besondere Eigenschaften und physikalische Umsetzung

Weil Quantengatter reversibel sind, können sie nicht mehr Eingänge als Ausgänge haben: Sonst ginge Information eines Eingangs-Qubits verloren. Außerdem können sie keine zusätzlichen Qubits erzeugen. Das No-Cloning-Theorem besagt insbesondere, dass der Zustand eines Qubits nicht kopiert werden kann, ohne den Ausgangszustand zu zerstören. Deshalb besitzt in einem Quantenschaltkreis jedes Qubit genau eine durchgehende Leitung von links nach rechts; eine klassische Verzweigung einer Bit-Leitung ist nicht möglich.

Die Realisierung hängt vom physikalischen Qubit ab. Genannt werden die Polarisation von Photonen, der Spin von Elektronen oder Kernen sowie Ladungen in Quantenpunkten und Josephson-Kontakten. In Ionenfallen können Laserpulse den Spinzustand äußerer Elektronen wechselwirkender Ionen oder Atome kohärent, also mit kontrollierter Phase, manipulieren. Bei einem beschriebenen Ionenfallen-Gatter wird ein gekühltes Ion durch ein elektromagnetisches Feld gehalten, ein polarisiertes Photon wechselwirkt mit ihm und das Ion nimmt anschließend einen Zustand aus der Überlagerung beider Quantenzustände ein.

Starke, kontrollierte Wechselwirkungen sind nötig, können aber technisch schwierig sein. Das erste CNOT-Gatter zwischen Photonen wurde 2003 mit probabilistischem Linear-Optical-Quantum-Computing realisiert. 2016 wurde am Max-Planck-Institut für Quantenoptik in Garching ein Photon-Photon-Logikgatter entwickelt, bei dem Lichtteilchen während der Verarbeitung nicht vernichtet werden. Rauschen bei Präparation, Energieniveau-Änderung und Auslesen kann Ergebnisse unbrauchbar machen; möglichst rauscharme Qubits und Gatter sind daher ein zentrales Forschungsziel.

Wirkung und Einsatz in Algorithmen

Durch Superposition kann ein Qubit Zustände |0⟩ und |1⟩ zugleich überlagern. Bei einer Phasenverschiebung von 90° treten laut Darstellung Messwerte zu 50 % als logisch 1 und zu 50 % als logisch 0 auf. Eine Rechenoperation wirkt dann gleichzeitig auf beide Zustände; dies wird Quantenparallelismus genannt. Bei einer Messung liefert der Kollaps der Wellenfunktion jedoch nur ein einzelnes mögliches Ergebnis. Deshalb müssen Berechnungen meist mehrfach wiederholt und ihre Messwerte statistisch ausgewertet werden. Mit mehreren Qubits kann manchmal beispielsweise die Quanten-Fouriertransformation schon nach einer Berechnung zu brauchbaren Ergebnissen führen.

Aus Basisgattern werden komplexere Logikgatter und ganze Algorithmen zusammengesetzt oder „kompiliert“. Einen Quantencomputer programmiert man somit, indem man einen Algorithmus aus bekannten Gattern aufbaut. Als Beispiel wird ein Quanten-Volladdierer von Feynman aus dem Jahr 1986 genannt, der aus Toffoli- und CNOT-Gattern besteht; ein gestrichelt markiertes Gatter kann entfallen, wenn der B-Ausgang nicht benötigt wird.